Propagazione errori e unità di misura

[jimbolino]

Sera a tutti,

cerco un aiuto per risolvere il seguente dubbio che mi affligge, ho imparato che la propagazione dell'errore di misura si fa con la regola:

- sia la misura derivata z(x,y) dipendente da x e y, allora:

$\sigma_z=\sqrt(((\partialz)/(\partialx))^2\sigma_x^2+((\partialz)/(\partialy))^2\sigma_y^2)$

Il dubbio è se z è espresso in unità di misura col prefisso milli (così come per kilo ecc), mi chiedo se posso applicare tale formula inserendo i valori coi prefissi o devo convertirli in unità di misura senza prefisso?

Mi spiego con un esempio:

$V=R*I$ io voglio calcolare col suo errore: $(5+-0.2)mΩ*(2+-0.1)mA$ posso applicare la propagazione di cui sopra inserendoci i valori in milli-ohm e milli-ampere e trovare il sigma della misura derivata così, oppure non posso usare multipli e sottomultipli dell'unità di misura cioè devo prima convertirli e sostituirci i valori $0.0002Ω$ e $0.0001A$ ed $0.005Ω$ e $0.002A$?

Spero di essermi spiegato, e grazie a chi vorrà aiutarmi a far chiarezza

[singularity]

Ciao jimbolino,

Basta che tu rimanga coerente con le unità di misura e che faccia attenzione ai calcoli. Ricordati che "milli" significa "moltiplicato per $10^-3$, "kilo" significa "moltiplicato per $10^3$ ecc. e sei a posto.

Nel tuo caso, ad esempio, quando inserisci il valore di $R$ per calcolare $V=RI$ usa la stessa unità di misura che quando calcoli l'errore su $V$ (perché mai vorresti non farlo? ) così avrai la grandezza e il suo errore nella stessa unità di misura. Dopodiché puoi farci sopra tutte le conversioni che vuoi (purché ad entrambi!).

[jimbolino]

Grazie per la risposta,

in parte mi è chiaro in parte no, provo ad esplicitare passo passo un esempio se avrai voglia di leggerlo così capisci dove sono in dubbio:

Mettiamo di avere: $(5+-0.2)V*(2+-0.1)A=(10+-?)W$

Calcoliamo il $?$ nella precedente
modo 1:
Se convertissi in milli-ampere e milli-volt
$(5000+-200)mV*(2000+-100)mA$
E l'errore sarebbe

$sqrt((5000)^2*(200)^2+(2000)^2*(100)^2)=1.020*10^6mW$

e riportandolo in watt avrei: $1.020*10^3$ (1)


Che mi sembra diverso dal metodo 2:
Ritorniamo a considerare

$(5+-0.2)V*(2+-0.1)A$

Ed ecco il sigma che ricavo

$sqrt(5^2*0.2^2+2^2*0.1^2)=1.020W$ (2)

Per questo dicevo che non mi pare di poter usare nella formula di propagazione l'unità che voglio quanto trovato in (1) e (2) sono ben diversi come valori. Prima dovrei convertirlo e non usarne i multipli o sottomultipli dell'unità di misura. Sbaglio?

[singularity]

Il tuo errore è, nel metodo 1, di pensare che $1\quad mV* 1 \quad mA =1\quad mW$, questa relazione è sbagliata! È facile cadere in tentazione, per questo esortavo a fare attenzione, di pensare che un MILLIvolt per un MILLIampere faccia un MILLIwatt. Ma se guardi bene scoprirai che:

$1\quad mV *1\quad mA =1\quad \mu W$

Riesci ad capire il perché?

[jimbolino]

Sì, certo, quello torna eccome è un microwat: basta riscriverla come $0.001V*0.001A$ per rendersene conto.
Proprio per quel motivo mi chiedevo se potessi applicare la propagazione dell'errore direttamente sui multipli e sottomultipli senza prima passare dalle unità senza prefissi.
Mi sembrava di capire di no, però dalla tua risposta avevo capito di sì e per quello ho fatto l'esempio, avevo frainteso allora.

Il punto della questione ora è: posso o non posso applicare la propagazione sui millivolt e milliampere? A conti fatti e per gli esempi suddetti direi di no, devo prima convertire e poi applico la formula della radice e derivate parziali (non parlo del calcolo della misura, quella sì è da convertire, parlo del mero calcolo di propagazione)

[singularity]

Se ti torna allora dovrebbe tornarti anche che, quando scrivi:

modo 1:
Se convertissi in milli-ampere e milli-volt
$(5000+-200)mV*(2000+-100)mA$
E l'errore sarebbe

$sqrt((5000)^2*(200)^2+(2000)^2*(100)^2)=1.020*10^6mW$

Quell'ultimo risultato deve essere espresso in microwatt, non milliwatt!

Chiaramente coincide con il risultato del metodo 2. Come ti dicevo basta che ogni volta che usi una grandezza $A$ nei calcoli essa abbia sempre la stessa unità di misura $[A]$.
Esempio: Se sono coinvolte tensioni, misurale tutte in $V$, o tutte in $mV$ e così via. Stessa cosa per l'errore: usa la stessa unità di misura della grandezza misurata. Sarebbe strano esporre il risultato di una misura in $V$ e il suo errore in $mV$, no?

Se poi la cosa ti fa stare più tranquillo, converti prima tutto in unita SI, disfacendoti di tutti i multipli e sottomultipli, così sarai sicuro che la grandezza risultante sarà anch'essa in unità SI. Tutto ciò non è però obbligatorio!

EDIT!!!!

Mi sono appena accorto che stai interpretando male la formula! La potenza è $P = VI$, quindi la formulona del primo messaggio si esplicita come:

$\Delta P = sqrt{V^2 \Delta I^2 + I^2 \Delta V ^2}$

mentre tu hai scritto:

$\Delta P = sqrt{V^2 \Delta V^2 + I^2 \Delta I ^2}$

che è sbagliato! Così sommeresti una tensione alla quarta con una corrente alla quarta, ovvero le proverbiali mele con le patate!

[jimbolino]

Sì ho sbagliato a copiare io, era al contrario. Ma quello è stato un mero errore di svista non concettuale quindi non mi preoccupa. Volevo piuttosto capire il senso.

Credo di avere anche capito il punto, tu mi stavi suggerendo che anche il risultato del calcolo del sigma fosse in microwatt, e questo era un errore concettuale, non pensavo che da quella formula uscisse propvio in microwatt come l'unità di misura della misura derivata.
Strano, non l'avevo capito davvero che quella formula mantenesse coerenza delle unità e sottomultipli

Edito anche io:

Ma se guardi bene scoprirai che:

$1\quad mV *1\quad mA =1\quad \mu W$

Riesci ad capire il perché?

Io me la giustificanvo passando a: 0.0001V*0.0001A, però di fatto perché esca microwatt senza convertire in SI non mi è chiaro (cioè su come arrivarci direttamente intendo)

[singularity]

non pensavo che da quella formula uscisse propvio in microwatt come l'unità di misura della misura derivata.

Non è una magia, semplicemente non potrebbe essere altrimenti: moltiplichi $(mA)^2$ per $(mV)^2$ e sommi
($V^2 \Delta I^2 + I^2 \Delta V ^2$) ottenendo $(\mu W)^2$ (per il discorso di prima), che poi sotto radice diventano $\muW$.

Ma se guardi bene scoprirai che:

$1\quad mV *1\quad mA =1\quad \mu W$

Riesci ad capire il perché?

Io me la giustificanvo passando a: 0.0001V*0.0001A, però di fatto perché esca microwatt senza convertire in SI non mi è chiaro (cioè su come arrivarci direttamente intendo)

È la stessa identica cosa scrivere $0.1\quad mV$ oppure $0.1 \times10^-3\quad V$ o altrettanto $0.0001\quad V$. Non lasciati sopraffare dalle notazioni e nota sempre quando dicono la stessa cosa. Perché $1\quad mV * 1\quad mA = 1\quad \mu W$? Semplicemente perché:

$1\quad mV * 1\quad mA= 10^-3\quad V * 10^-3\quad A=10^-6\quad A*V=10^-6\quad W = 1\quad \mu W$, per definizione.

[jimbolino]

Sei stato gentilissimo, grazie davvero . Direri che mi è chiarissimo.

Buona serata!

[singularity]

È un piacere, buona serata a te!