Fermiamoci già qua. Poi tutto il resto si vedrà dopo.
Ok, questa è una possibile definizione di multiplo. Vuoi o non vuoi questa definizione è induttiva. Mettere questa definizione avendo assunto l'assiomatica di Hilbert è un'indelicatezza bella grossa: semplicemente gli assiomi di Hilbert non contemplano l'assioma di induzione e questo assioma è essenziale per la dimostrazione del teorema di ricorsione, il quale giustifica le definizioni ricorsive. Il problema definitorio è cruciale, se no parliamo di fuffa. Che facciamo? Vogliamo potenziare l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione nel linguaggio già esistente? Come puoi vedere qualcun altro si è posto il tuo dubbio, ma non ci sono state risposte (purtroppo). Questo link è molto interessante, prendilo in considerazione. A te la scelta , tutto il resto segue a ruota.astrifiammante ha scritto:[...]1) $OQ\equiv AB$ è un multiplo di $AB$
2) Dati $O,P,Q$, se $OP$ è un multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è anch'esso multiplo di $AB$
Vediamo di proseguire...
astrifiammante ha scritto:Definizione 1: Se:1) $OQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$
2) dato $P$ compreso fra $O$ e $Q$ $OP$ è multiplo di $AB$ e $PQ\equiv AB$ allora $OQ$ è multiplo di $AB$
Lemma 1: Per ogni segmento $HL$, multiplo di $AB$, esiste un punto $K$ coincidente con $L$ o compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HK\equiv AB$ oppure $KL\equiv AB$.
Dim. Se $HL\equiv AB$ allora $K=L$ per la 1) della definizione 1. Se $HL\ne AB$ per la 2) della definizione 1 esiste un $X$ compreso fra $H$ ed $L$ tale che $HX$ è multiplo di $AB$ e $XL\equiv AB$. In tal caso $K=X$. (fine dimostrazione).
La definizione che hai dato è induttiva, non formulabile quindi all'interno dell'assiomatica di Hilbert. Quello che tenti di dimostrare può essere anche corretto, ma il punto di partenza è quello che è. Di nuovo: che facciamo? Vogliamo arricchire l'assiomatica di Hilbert? Oppure vogliamo dare una definizione formulabile all'interno dell'assiomatica esistente? A te la scelta