Come dimostrò che E^(1+sen(x)) è periodica??

Messaggioda Encina » 23/04/2019, 18:23

Devo dimostrare che e^(1+sen(x)) è periodica e determinare il periodo in cui lo è. Ho provato ad usare un programma che disegna i grafici e mi risulta che è periodica ma non riesco a capire come faccio a determinarlo senza quest'ultimo.
Grazie in anticipo!!
Encina
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Re: Come dimostro che $ f(x) = e^(1+sin(x)) $ è periodica?

Messaggioda pilloeffe » 23/04/2019, 19:38

Ciao Encina,

Benvenuta sul forum!

Beh, qual è la definizione di funzione periodica? La funzione $ sin(x) $ è periodica? Se la risposta alla domanda precedente è affermativa, non ti pare ragionevole che la funzione $f(x) = e^{1+sin(x)} $ proposta abbia lo stesso periodo?
Ultima modifica di pilloeffe il 23/04/2019, 22:31, modificato 1 volta in totale.
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Re: Come dimostrò che E^(1+sen(x)) è periodica??

Messaggioda Bbach » 23/04/2019, 19:44

Se ti è chiara la definizione rigorosa di funzione periodica, non è difficile applicarla al caso in esame.

La funzione $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ è periodica di periodo $T>0$ se $T$ è il più piccolo numero reale positivo tale che
$f(x+T)=f(x)$ per ogni $x\in D$

In pratica devi applicare la definizione e cercare $T$. Se non esiste, non è periodica. Altrimenti, trovi $T$ e quindi anche il periodo.

---
Ho scritto in contemporanea con pilloeffe
Ultima modifica di Bbach il 23/04/2019, 20:37, modificato 1 volta in totale.
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Re: Come dimostro che $f(x) = e^(1+sin(x)) $ è periodica?

Messaggioda pilloeffe » 23/04/2019, 20:13

Ciao Bbach,
Bbach ha scritto:Ho scritto in contemporanea con pilloeffe

No problem, anche perché la definizione di funzione periodica non l'avevo scritta... :wink:
Occhio però che la scrittura corretta è $ f : D \rightarrow \RR $
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Re: Come dimostro che $f(x) = e^(1+sin(x)) $ è periodica?

Messaggioda Bbach » 23/04/2019, 20:36

Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
pilloeffe ha scritto:Ciao Bbach,
Bbach ha scritto:Ho scritto in contemporanea con pilloeffe

No problem, anche perché la definizione di funzione periodica non l'avevo scritta... :wink:
Occhio però che la scrittura corretta è $ f : D \rightarrow \RR $

Ok grazie, correggo subito
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Re: Come dimostrò che E^(1+sen(x)) è periodica??

Messaggioda Encina » 23/04/2019, 21:58

Grazie mille, mi era nota la definizione di funzione periodica ma non ero sicura che una funzione composta da una periodica e una no lo fosse. Graziei mille a entrambi
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Re: Come dimostrò che E^(1+sen(x)) è periodica??

Messaggioda Bbach » 24/04/2019, 12:29

Encina ha scritto:Grazie mille, mi era nota la definizione di funzione periodica ma non ero sicura che una funzione composta da una periodica e una no lo fosse. Grazie mille a entrambi

In verità quanto scrivi non è proprio vero in generale. Ad esempio $e^{\sin x}$ è periodica ma $\sin e^x$ non lo è. Inoltre non è detto che il periodo sia lo stesso.
Per fare l'esercizio in esame puoi fare le osservazioni che ha fatto pilloeffe (che però non valgono per qualsiasi funzione come hai scritto tu) oppure ricerchi il periodo così:
$e^{1+\sin x}=e^{1+\sin (x+T)} \implies e^{\sin x}=e^{\sin (x+T)} \implies \sin x = \sin(x+T)$ e il più piccolo numero reale positivo $T$ che soddisfi l'ultima uguaglianza $\forall x$ è $T=2\pi$.
Ultima modifica di Bbach il 24/04/2019, 19:49, modificato 1 volta in totale.
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Re: Come dimostrò che E^(1+sen(x)) è periodica??

Messaggioda gugo82 » 24/04/2019, 18:51

@Bbach: Beh, no.
L’ultima uguaglianza vale anche se $T=-2 pi$ o se $T=128 pi$ o se $T = -1282 pi$… Devo continuare?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Come dimostrò che E^(1+sen(x)) è periodica??

Messaggioda Bbach » 24/04/2019, 19:47

gugo82 ha scritto:@Bbach: Beh, no.
L’ultima uguaglianza vale anche se $T=-2 pi$ o se $T=128 pi$ o se $T = -1282 pi$… Devo continuare?

Sì hai ragione :oops: Avendo definito $T$ in un post precedente, implicitamente mi riferivo al più piccolo numero reale positivo che verificasse la relazione. Correggo subito!
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