Problema sul piano inclinato

[Lore.p98]

Buona Pasqua a tutti!
Scusate il disturbo con questo problema, spero che potrete darmi una mano a risolverlo.
Ieri stavo giusto pensando al piano inclinato ed a come un oggetto posto su di esso si muova di moto uniformemente accelerato, che dipende dall'angolo di inclinazione del piano stesso. Ho pensato di poter generalizzare la cosa ad una curva qualsiasi. Se prendiamo una curva possiamo ottenere il coefficiente angolare in un suo punto passando per la derivata prima. Ho pensato quindi di considerare il tratto di una curva come composto da tanti segmenti di diversa inclinazione e considerare gli stessi come tanti piani inclinati.
Quindi mi stavo chiedendo se procedendo in questo modo si potesse ottenere un'equazione per calcolare il tempo per percorrere un percorso di lunghezza nota.
Purtroppo non ho idea di come andare avanti.
Ho trovato un 'espressione dell'accelerazione per un punto qualsiasi del piano:
$a(x)=gsin(arctan(f'(x)))$
Ora come posso trovare l'equazione per calcolare il tempo?
Se il piano fosse solo uno per ricavare il tempo potrei operare di questo modo:
$S=1/2at^2$ da cui $t=sqrt((2s)/a)$.
Pero in questo caso i piani sono infiniti, stavo pensando che si potrebbe fare la somma di tutti i tempi infinitesi per trovare il tempo totale, passando per un'integrale che non so come impostare.
Fatemi sapere cosa ne pensate.

[Lore.p98]

Ho notato che la funzione dell'accelerazione può essere riscritta come:
$a(x)=g*(f'(x))/(sqrt(1+f'(x)^2))$
Mentre un elemento infinitesimo dello spazio può essere visto come:
$ds=sqrt(1+f'(x)^2)dx$
Ho provato a prendere come funzione f(x) una parabola di equazione $y=x^2$ ma non ho comunque trovato alcun risultato.

[singularity]

Ciao Lore.p98, buona pasqua in ritardo

Se vogliamo provare a dare una risposta precisa a questo problema, sarà meglio formalizzarlo un po' per essere sicuri di cosa stiamo parlando, perché, almeno io, non sono sicuro di aver capito cosa intendi).

Ho pensato quindi di considerare il tratto di una curva come composto da tanti segmenti di diversa inclinazione e considerare gli stessi come tanti piani inclinati.
Quindi mi stavo chiedendo se procedendo in questo modo si potesse ottenere un'equazione per calcolare il tempo per percorrere un percorso di lunghezza nota.

Se tu mi fai questa domanda io ti rispondo che, fissata una lunghezza, ci sono moltissimi (immagino infiniti) cammini diversi che un punto può compiere per percorrerla. Inoltre, per ognuno di questi cammini, ci sono moltissimi (immagino infiniti...) modi diversi per percorrere quel cammino in funzione del tempo $t$.

Stai forse intendendo se, data una funzione $f(x)$ (che è la traiettoria seguita dal punto ed è nota), e date determinate condizioni iniziali, è possibile esprimere il tempo impiegato in funzione dello spazio percorso $t=t(s)$? In tal caso la risposta potrebbe essere positiva e relativamente semplice.

Se riesci a essere un po' più preciso nell'esposizione del problema possiamo vedere che si può fare

[Lore.p98]

Esattamente, per esempio nella funzione $f(x)=x^2$, preso un'oggetto e lasciato scivolare da un determinato punto della parabola in un certo intervallo di tempo percorrerà un certa lunghezza della parabola. (ovviamente si suppone che non ci sia attrito e resistenza con l'aria). L'accelerazione che subisce il corpo lungo questo tragitto è data dalla funzione soprascritta. A questo punto dato che sappiamo la componente dell'accelerazione per ogni punto del tragitto è possibile calcolare il tempo per percorrere questo determinato tragitto?

[singularity]

Purtroppo non riesco a starti dietro... Da dove hai tirato fuori quelle equazioni per $a(x)$ e $ds$? E ancora non sono sicuro di aver capito qual è la tua domanda.

Comunque, supponiamo che tu abbia un generico sistema unidimensionale , ovvero un punto materiale di massa $m$ soggetto a un campo di forza $F(x)$. In questa ipotesi il punto è (in linea di principio) "libero" e non vincolato su una particolare curva, e la sua traiettoria è determinata dall'equazione di Newton:

$m \ddot(x) = F(x)\qquad (1)$

Se vuoi che il punto sia vincolato su una curva, allora devi aggiungere la reazione vincolare $\phi$ nel lato destro dell'equazione, ma devi fare l'ipotesi che tale forza vincolare non compia mai lavoro (ovvero $vec(\phi)$ deve essere sempre normale alla curva).

Comunque, dimentichiamoci un attimo della curva, e lavoriamo sul generico sistema unidimensionale descritto dalla equazione $(1)$. Un sistema, per essere risolvibile, deve avere tante quantità costanti (dette integrali primi del moto), quante sono le dimensioni del sistema. Nel nostro caso ce ne basta uno, che, se $F(x)= -(dV)/(dx)$, ovvero se la forza è conservativa, sarà dato dell'energia totale:

$E = 1/2 m \dot(x) ^2 + V(x)= text(costante)\qquad (2)$

Differenzia la $(2)$ rispetto a $x$, noterai che non è altro che un modo diverso di scrivere la $(1)$. Ora, quest'ultima equazione la riscriviamo come:

$ m/2 ((dx)/dt) ^2= E - V(x)\quad rarr (dx)/(dt) = sqrt(2/m (E- V(x))) \qquad (3)$

dal caro, vecchio metodo urang-utang ©, separiamo le variabili e integriamo:

$dt =\frac{dx}{sqrt(2/m (E- V(x))} $ $\quad \rarr int_(t_0) ^ t dt=int_(x_0) ^ x (dx)/sqrt(2/m (E- V(x))$ $\qquad (4) $

Et voilà: in linea di principio abbiamo risolto il sistema, ottenendo la funzione da te tanto agognata $t=t(x)$, ovvero il tempo $(t-t_0)$ impiegato a percorrere lo spazio tra $x_0$ e $x$.

Ora, quando abbiamo il punto vincolato su una curva, stiamo "guardando" il problema dal piano, quindi la equazione di Newton $(1)$ la scriviamo effettivamente come equazione vettoriale:

$m vec(a) = vec(F) + vec(phi)\qquad (5)$

fortunatamente, ogni (parametrizzazione di una) curva, che sia fisicamente interessante, porta con sé una coppia (se siamo nello spazio $RR^3$ una terzina) di versori ad essa intrinseci: il versore tangente alla curva $hat(t)$ e il versore normale $hat(n)$. Proiettando la $(5)$ su tali assi si ottengono due equazioni riconducibili al problema unidimensionale $(1)$ e si riparte da capo.

Si può dimostrare che nel caso da me citato $\phi$ dipende solo dall'energia cinetica e dal raggio di curvatura, e si potrebbero (e dovrebbero!) dire un sacco di altre cose. Però servirebbe un po' di conoscenza della geometria delle curve (ad esempio sapere cos'è il raggio di curvatura). Insomma hai scoperchiato un po' il vaso di pandora qua , ma non ti lasciar sopraffare dalla mole di informazioni! Questa è tutta roba che solitamente si studia nelle prime parti di corsi di meccanica analitica/razionale, anche se a volte si fa uso di un po' di questa roba anche studiando semplicemente Fisica Generale 1.

Ora mi fermo perché se no scrivo un romanzo. Digerisci un po' tutto quello che ti ho scritto (sperando di non aver scritto troppe imprecisioni) e poi posta pure tutti i tuoi dubbi/perplessità/angosce .

[Lore.p98]

https://drive.google.com/file/d/1H9NK3z ... sp=sharing
ho cercato di fare uno schema per rendere le cose più comprensibili.
Il punto materiale si trova a una certa posizione iniziale nella curva.
Dalla posizione iniziale scivola per via della forza di gravità. Ogni punto della curva ha una diversa inclinazione.
"zommando" infinitamente si può considerare la curva come formata da tanti segmenti di inclinazione variabile. La forza peso che fa scivelare il punto materiale lungo la curva può essere scomposta in una componente normale alla curva e una tangenziale alla curva. In questo modo la componente radiale e l'unica componente che genera il movimento del punto materiale. La sua componente è data dalla equazione $F_p(sin(alpha))$, però dato che l'inclinazione dei vari segmenti varia, anche alpha varia. Sappiamo che $tan(alpha)=f'(x)$ possiamo quindi ottenere una funzione a(x) come mostrato. Il ds è dato dall'integrale di linea. Spero di aver reso l'idea

[Lore.p98]

Comunque penso di aver trovato una soluzione definitiva