da mashi1994 » 26/04/2019, 19:22
ciao Guido spero di esserti di aiuto ecco quello che ho fatto io per il punto 1:
Allora il polinomio di Mac-Laurin non è altro che Taylor calcolato per $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Se la funzione fosse polinomiale potresti dichiararla derivabile infinite volte, in questo caso non so se si possa dire lo stesso del logaritmo, nel caso vai a calcolare $f_{x}(x,y)$,$f_{y}(x,y)$, $f_{yy}(x,y)$,$f_{xy}(x,y)$,$f_{yx}(x,y)$,$f_{x x}(x,y)$ e verifichi che sia continua per $(x_0,y_0)$ che in questo caso è $(0,0)$.
Se va tutto bene puoi dichiarare che $f(x,y)$ è $C2(0,0)$ e inserire i seguenti termini in questa formula concludendo l'esercizio:
$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)h+f_{y}(x_0,y_0)k+1/2[f_{x x}(x_0,y_0)h^2+f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+R(h,k)$
la formula non è altro che la definizione di polinomio di Taylor, con i differenziali primo e secondo scritti in forma estesa al secondo ordine per una funzione in due variabili.