Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda guidocastiello00 » 26/04/2019, 16:21

Qualcuno può aiutarmi nel svolgere il seguente esercizio con maggior dettaglio per il primo punto!L'esercizio cita le seguente traccia:
Calcolare
1)il polinomio di Mac-Laurin del secondo ordine con resto di Peano della funzione
$f(x,y)$=$e^(3xy)-x log(1+2x+3y)-1$;

2)i seguenti limiti dopo utilizzando lo sviluppo appena ottenuto tenendo conto che $f(x,y)$ $~~$ $poli. +o(x^2+y^2)$:

$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(x^2+y^2) $


$\lim_{(x,y) \to \(0,0)}f(x,y)/(sqrt(x^2+y^2)) $
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda gugo82 » 26/04/2019, 16:40

Cosa hai provato?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda mashi1994 » 26/04/2019, 19:22

ciao Guido spero di esserti di aiuto ecco quello che ho fatto io per il punto 1:

Allora il polinomio di Mac-Laurin non è altro che Taylor calcolato per $(x_0,y_0)=(0,0)$.

Se la funzione fosse polinomiale potresti dichiararla derivabile infinite volte, in questo caso non so se si possa dire lo stesso del logaritmo, nel caso vai a calcolare $f_{x}(x,y)$,$f_{y}(x,y)$, $f_{yy}(x,y)$,$f_{xy}(x,y)$,$f_{yx}(x,y)$,$f_{x x}(x,y)$ e verifichi che sia continua per $(x_0,y_0)$ che in questo caso è $(0,0)$.
Se va tutto bene puoi dichiarare che $f(x,y)$ è $C2(0,0)$ e inserire i seguenti termini in questa formula concludendo l'esercizio:

$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)h+f_{y}(x_0,y_0)k+1/2[f_{x x}(x_0,y_0)h^2+f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+R(h,k)$

la formula non è altro che la definizione di polinomio di Taylor, con i differenziali primo e secondo scritti in forma estesa al secondo ordine per una funzione in due variabili.
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda gugo82 » 26/04/2019, 20:22

Ragazzi, ma non perdete tempo inutilmente… Avete funzioni elementari delle quali conoscete gli sviluppi di Taylor da Analisi I: usateli.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda guidocastiello00 » 27/04/2019, 08:43

mashi1994 ha scritto:ciao Guido spero di esserti di aiuto ecco quello che ho fatto io per il punto 1:

Allora il polinomio di Mac-Laurin non è altro che Taylor calcolato per $(x_0,y_0)=(0,0)$.

Se la funzione fosse polinomiale potresti dichiararla derivabile infinite volte, in questo caso non so se si possa dire lo stesso del logaritmo, nel caso vai a calcolare $f_{x}(x,y)$,$f_{y}(x,y)$, $f_{yy}(x,y)$,$f_{xy}(x,y)$,$f_{yx}(x,y)$,$f_{x x}(x,y)$ e verifichi che sia continua per $(x_0,y_0)$ che in questo caso è $(0,0)$.
Se va tutto bene puoi dichiarare che $f(x,y)$ è $C2(0,0)$ e inserire i seguenti termini in questa formula concludendo l'esercizio:

$f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+f_{x}(x_0,y_0)h+f_{y}(x_0,y_0)k+1/2[f_{x x}(x_0,y_0)h^2+f_{xy}(x_0,y_0)hk+f_{yy}(x_0,y_0)k^2]+R(h,k)$

la formula non è altro che la definizione di polinomio di Taylor, con i differenziali primo e secondo scritti in forma estesa al secondo ordine per una funzione in due variabili.

Grazie mille io una cosa però non ho capito, calcolata questa formula che faccio? Devo esplicitare $f(x_0,y_0)$ oppure l'incremento cioè->$f(x_0+h,y_0+k)$
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda guidocastiello00 » 27/04/2019, 08:45

gugo82 ha scritto:Ragazzi, ma non perdete tempo inutilmente… Avete funzioni elementari delle quali conoscete gli sviluppi di Taylor da Analisi I: usateli.

Purtroppo il professore ha richiesto di utilizzare la formula che mashi1994 ha scritto
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda gugo82 » 27/04/2019, 12:52

guidocastiello00 ha scritto:
gugo82 ha scritto:Ragazzi, ma non perdete tempo inutilmente… Avete funzioni elementari delle quali conoscete gli sviluppi di Taylor da Analisi I: usateli.

Purtroppo il professore ha richiesto di utilizzare la formula che mashi1994 ha scritto

Beh, nella traccia non è scritto… Ma, anche se fosse, non si fa Matematica con il cervello legato dietro la schiena.

Il polinomio di Taylor del secondo ordine di $f(x,y) := e^(3xy)-x log(1+2x+3y)-1 $ centrato in $(0,0)$ si ricava con gli sviluppi elementari:
\[
f(x,y) = -2x^2 + \text{o}(x^2 + y^2)\; \ldots
\]
Giusto?
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda mashi1994 » 27/04/2019, 14:08

ciao ragazzi,

purtroppo non sono un guro della matematica, e quella formula che ti ho scritto guido anche se giusta il più delle volte seguirla è un palo nel deretano, infatti già qui le derivate non sono proprio immediate nel complesso e avere calcoli prolissi in un tema d'esame non aiuta proprio, sono sicuro che quando dovrai affrontare l'esame sarai spronato ad usare gli sviluppi come dice gugo.

Gugo purtroppo non ricordo nemmeno io come si arriva a quel risultato, ad esempio se conosco lo sviluppo di:
$e^z$ come è lo sviluppo di $e^(3xy)$?
Devo prendere $e^z$ con $z = 3xy$?

potresti quanto meno descrivere a parole quali sono i passaggi?
grazie!
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda gugo82 » 27/04/2019, 14:45

mashi1994 ha scritto:Gugo purtroppo non ricordo nemmeno io come si arriva a quel risultato, ad esempio se conosco lo sviluppo di:
$e^z$ come è lo sviluppo di $e^(3xy)$?
Devo prendere $e^z$ con $z = 3xy$?

Sì.
È una tecnica base di Analisi I.
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Re: Analisi 2:Polinomio di Mac-Laurin.

Messaggioda mashi1994 » 27/04/2019, 15:27

Allora credo di esserci arrivato:

sapendo che

$e^z=$$\sum_{n=0}^(\infty) (x^n)/(n!)$

allora il suo sviluppo di Taylor al secondo ordine risulta essere:
$e^z=1+z+(z^2/2)+o(z^2)$
nella formula notiamo che abbiamo:
$e^(3xy)-1$
che possiamo sostituire in base allo sviluppo con:
$3xy + o(gugo qua che ci va messo?)$
poi sapendo che:
$log(1+z)=\sum_{n=1}^(\infty) (-1)^(n+1)(z^n)/n$
il suo sviluppo di Taylor al secondo ordine risulta essere:
$log(1+z)=z-z^2/2+o(z^2???è corretto?)$
sapendo che z=2x+3y:
$xlog(1+2x+3y)=2x^2+3xy$
unendo le due cose abbiamo:
$f(x,y) = 3xy - 2x^2 - 3xy + o(x^2+y^2) = -2x^2 + o(x^2+y^2)$
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