devo dimostrare la seguente cosa
sia $(X,T)$ uno spazio topologio e sia ${K_n}_(n in NN)$ una famiglia decrescente di compatti chiusi, allora $bigcap_(n in NN)K_n ne emptyset$
io lo dimostrerei così; se per assurdo fosse $bigcap_(n in NN)K_n=emptyset$ allora $bigcup_(n in NN)K_n^c=X$ e quindi
$bigcup_(n in NN)(K_1capK_n^c)=K_1capbigcup_(n in NN)K_n^c=K_1capX=K_1$
quindi essendo $K_n^c$ aperto in $X$ si ottiene che ${K_1capK_n^c}_(n in NN)$ è un ricoprimento aperto di $K_1$.
Per la compattezza di $K_1$ esistono $n_1,...,n_k$ per cui
$K_1=bigcup_(i=1)^(k)(K_1capK_(n_i)^(c))$
da questo si ottiene che $K_1subsetbigcup_(i=1)^(k)K_(n_i)^c=(bigcap_(i=1)^(k)K_(n_i))^c$ ma allo stesso tempo essendo $K_(n_i) subsetK_1$ per ogni $i=1,...,k$ si ha che $bigcap_(i=1)^(k)K_(n_i)subsetK_1$ il che è assurdo.
Come la vedete la dimostrazione? Inoltre indebolirei anche l'ipotesi che debbano essere tutti compatti e assumerei che soltanto $K_1$ sia compatto.