Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda ZfreS » 14/05/2019, 19:58

Vorrei chiarire un po di dubbi sull'perazione di prodotto scalare.
Perchè è utile, sopratutto in fisica nella definizione di lavoro, qual'è la dimostrazione della formula: $v*w=vwcosalpha$ ?
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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda Vidocq » 14/05/2019, 23:01

Procediamo con una dimostrazione abbastanza semplice, facendo riferimento alla seguente figura:



Definizione.
Si definisce prodotto scalare l'applicazione $\cdot \:\mathbb{R}^{\text{3}}\times\mathbb{R}^{\text{3}} \mapsto \mathbb{R}$ che associa ai vettori v e w lo scalare $\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}$


Nella nostra analisi tornerà utile anche la definizione di norma euclidea di un vettore v:

$|| \mathbf{v} ||:=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$

Osservando la figura (considerando implicitamente alcune proprietà del prodotto scalare) notiamo che:

$|| \mathbf{v}-\mathbf{w} ||^{2}=(\mathbf{v}-\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}-\mathbf{w})=|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w} ||^{2} -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$

Inoltre, applicando il teorema dei coseni al triangolo riportato in figura:

$|| \mathbf{v}-\mathbf{w} ||^{2}=(\mathbf{v}-\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}-\mathbf{w})=|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w}||^{2} -2|| \mathbf{v} |||| \mathbf{w} ||\cos(\alpha )$

Uguagliando i secondi membri delle due precedenti relazioni:

$|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w}||^{2} -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=|| \mathbf{v}||^{2}+|| \mathbf{w} ||^{2} -2|| \mathbf{v}|||| \mathbf{w}||\cos(\alpha )$

e semplificando

$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=|| \mathbf{v} |||| \mathbf{w} ||\cos(\alpha )$
$square$

Dal punto di vista geometrico puoi interpretare il prodotto scalare come proiezione ortogonale del vettore w sulla retta parallela al vettore v.
Questa interpretazione e' utilissima per comprendere meglio il significato di lavoro.
La forza ortogonale alla traiettoria (di spostamento) non compie lavoro; la forza parallela si'.
Interpretando w come una forza e v come uno spostamento, allora stai calcolando la componente parallela a v utile al lavoro.
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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda ZfreS » 15/05/2019, 14:09

Perfetto, ora ho capito, grazie mille!
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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda ZfreS » 15/05/2019, 17:41

Ma perchè quel segmento che unisce i due vettori è la differenza dei due e non la somma?
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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda Vidocq » 15/05/2019, 17:52

Personalmente, sarà l'ultima volta che rispondo ad una tua domanda di questo tipo.
Non sei autorizzato ad avere un dubbio del genere, se scrivi di lavoro, prodotti scalari e cosi' via.

Il disegno seguente dovrebbe parlare da solo

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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda 3m0o » 15/05/2019, 17:55

ZfreS ha scritto:Ma perchè quel segmento che unisce i due vettori è la differenza dei due e non la somma?

Riguarda la regola del parallelogramma :wink:
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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda ZfreS » 15/05/2019, 18:08

Ok, scusa per il dubbio stupido. Grazie per avermelo spiegato.
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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda 3m0o » 15/05/2019, 18:12

ZfreS ha scritto:Ok, scusa per il dubbio stupido. Grazie per avermelo spiegato.

Personalmente ritengo che non bisognerebbe mai scusarsi per un dubbio, nessun dubbio è stupido! :wink:
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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda Vidocq » 15/05/2019, 18:28

Nessuno si deve scusare e nessun dubbio è stupido, ovviamente.

@ZfreS, ad ogni modo continua cosi' perché sono sicuro che una buona parte dei "laureati" non saprebbero rispondere alla domanda originale di questo thread :wink:
Il solo fatto che tu pensi alla dimostrazione, ti mette su un livello più alto, ma allo stesso tempo devi esigere un maggior sacrificio e severità verso te stesso.
Continua cosi'!
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Re: Delucidazioni su prodotto scalare

Messaggioda ZfreS » 15/05/2019, 18:55

Grazie per l'incoraggiamento! Ma perchè queste dimostrazioni non si trovano nei libri? Almeno quelli da liceo, quelli universitari non so.
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