Il ponte del Golden Gate

Messaggioda SirDanielFortesque » 14/05/2019, 17:51

Salve,
Mi aiutereste con questo problema sulla dilatazione? Ho qualche difficoltà sulla seconda parte:

La distanza tra le torri dell'arcata principale del ponte è di $1280 m$. Un cavo è teso tra queste due torri ed ha una freccia di $134 m$ a $15°C$. Assumere $\alpha=11,7*10^-6$ per $°C$ per il cavo e calcolarne la variazione di lunghezza tra le torri e la variazione della freccia a metà di esso se la temperatura varia tra $-30°C$ a $+55°C$.

Per la lunghezza è facile $\DeltaL=1280m*\alpha*(55+30)=1,3m$

Ma per la freccia? Qua sul libro c'è un disegno che che considera il tirante come un arco di crf. ma come si continua?
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Re: Il ponte del Golden Gate

Messaggioda Shackle » 15/05/2019, 16:46

Non credo che sia come hai pensato tu. LA freccia, o saetta, di un arco di circonferenza, è la quantità indicata con $h$ nella figura di Wikipedia :

https://it.wikipedia.org/wiki/Saetta_(geometria)

quindi, dovresti prima calcolare la lunghezza dell'arco corrispondente alla freccia data, poi considerare la dilatazione lineare di questa lunghezza, e ricalcolare la freccia con la nuova lunghezza.

Per inciso, una fune sospesa tra due punti in un campo gravitazionale uniforme assume la forma della catenaria , cioè un arco di $cosh$ (coseno iperbolico) . SE però alla fune è attaccato un carico che ha valore costante in ciascun punto, nel senso della lunghezza, cioè tot $(kg)/m$ dal primo al secondo punto ( per esempio, il ponte dove passano le auto), l'arco risulta essere un pezzo di parabola. Come dice nella dispensa prima citata :

Èvinteressante...la forma della curva quando la catena non è omogenea ma il suo peso aumenta proporzionalmente a x nella direzione orizzontale: In questo caso si ha una parabola .

Galileo, se non erro, aveva supposto che si trattasse di una parabola anche senza il carico sospeso, e questo non è corretto1 .

Dispensa interessante.

In ogni caso, l'arco di circonferenza è una semplificazione. Questo è un problema di brassica oleracea .

Note

  1. Spero di ricordare bene la storia.
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Re: Il ponte del Golden Gate

Messaggioda SirDanielFortesque » 16/05/2019, 00:46

Ok ho seguito il suggerimento.

Trovato il raggio della "circonferenza" prendendo come riferimeno l'inizio e la fine del cavo ed il punto a metà del ponte:

$r=("Freccia"^2+("corda crf"/2)^2)/(2*"Freccia")=1595m$

Dove la corda è naturalmente $1280m$

Da cui ottengo che la lunghezza dell'arco è:
$L_0=1317$

Quindi il mio $\DeltaL$ dovrebbe essere

$\DeltaL=1317*11,7*10^(-6)*(55+30)°C=1,310m$
$L=1317+1,310=1318m$

Però non ho capito a questo punto

Shackle ha scritto:e ricalcolare la freccia con la nuova lunghezza


come proseguire e fare questo ultimo passaggio.


Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Shackle ha scritto:Questo è un problema di brassica oleracea .


Per un momento ho pensato che fosse chissà quale curva :-D

E grazie della segnalazione della dispensa
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Re: Il ponte del Golden Gate

Messaggioda Shackle » 16/05/2019, 03:59

L’arco di lunghezza $L$ appartiene a un’altra circonferenza, avente un altro raggio, ma la stessa corda di prima. Quindi la freccia cambia.
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Re: Il ponte del Golden Gate

Messaggioda ralf86 » 16/05/2019, 05:54

Direi che la distanza tra le torri non cambia dato che le torri sono ancorate al suolo. La lunghezza della fune aumenta con legge delta l=alfa*l_0. La forma della fune si uò assumere a catenaria (o in prima approssimazione parabolica). Da qui con un po di geometria trovi la nuova freccia.
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Re: Il ponte del Golden Gate

Messaggioda Shackle » 16/05/2019, 07:55

Tutto si può fare, adottando opportune ipotesi. Se il testo parla di circonferenza, io assumerei questa. Altrimenti, puoi pensare alle altre curve, ma alla fine la differenza è piccola. L’essenziale è che il problema è geometricamente definito.
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Re: Il ponte del Golden Gate

Messaggioda SirDanielFortesque » 16/05/2019, 20:29

Mi sa che c'è qualcosa che non va anche con il risultato del libro. La freccia viene minore, in particolare verrebbe $133,9m$ usando questo procedimento (e anche il risultato del libro è lo stesso).

Non dovrebbe risultare leggermente maggiore della freccia iniziale?
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Re: Il ponte del Golden Gate

Messaggioda Shackle » 16/05/2019, 21:44

LA freccia data dal testo è 134m a 15ºC . Tu stai calcolando la variazione di lunghezza quando la temperatura varia da -30ºC a +55ºC . Se si ammette sempre valida la variazione lineare della lunghezza, c'è un intervallo di temperature negative e uno di temperature positive , che agiscono in maniera diversa sul comportamento del cavo. Credo che sia questo il motivo del risultato ottenuto.
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Re: Il ponte del Golden Gate

Messaggioda SirDanielFortesque » 17/05/2019, 10:05

Si direi che è questo grazie a tutti
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