da Bokonon » 17/05/2019, 06:29
L'applicazione f è una sola. Chiede se effettivamente esista e quante ve ne siano al variare di k.
Io lo risolvo a modo mio e non uso quei sistemoni da totocalcio che insegnano di solito.
Chiamiamo F la matrice associata all'appplicazione f.
$ A=( ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , k+1 , 1 ),( k , -1 , 5 ) ) $
$ B=( ( 2+k , 1 , 1 ),( 3 , 1 , k ),( 0 , -2 , 2 ) ) $
Il problema si compatta nell'equazione $FA=B$
Il modo in assoluto più semplice di ragionare IMHO è chiedersi per quali valori di k $det(A)!=0$, quindi invertibile.
In questi casi esiste sempre un'unica applicazione $F=BA^(-1)$ che risolve il sistema (indipendentemente da cosa contiene B).
Si scopre che $det(A)=0$ quando $k=-4,2/3$, mentre $det(B)=0$ quando $k=-4,1$
Questo ci dice che per $k!=-4,2/3$, la funzione $f_k$ è unica. In particolare sappiamo persino che F avrà sempre rango massimo eccetto quando $k=1$: in questo caso (sono andato a vedere) ha rango 2. Questo solo per dire quante info e deduzioni di possono trarre dall'equazione $F=BA^(-1)$ visto che $rank(F)=min{rank(B), rank(A^(-1))}$
Ora vediamo cosa accade quando $k=2/3$.
$det(FA)=det(F)*det(A)=det(F)*0=0=det(B)!=0$ quindi è assurdo. Pertanto $f_(2/3)$ non esiste.
(è possibile anche fare il medesimo ragionamento che sto per fare nella rimanente casistica ma francamente così ci si risparmia calcoli).
Infine per $k=-4$, allora $det(A)=det(B)=0$ quindi ha senso andare a vedere cosa succede.
Riducendo con Gauss la matrice A, scopriamo che ha rango 2 e che la terza colonna è comb. lineare delle prime due.
In particolare, risolvendo il sistema otteniamo che $-1*a_1-1*a_2=a_3$ (dove $a_i$ e una colonna di A).
Ora, per linearità, se esiste una matrice F che soddisfa l'equazione, allora:
$f(a_3)=f(-a_1-a_2)=-f(a_1)-f(a_2)=-b_1-b_2=b_3$
Sostituendo si verifica facilmente che la linearità è soddisfatta, pertanto esistono infinite $f_(-4)$.
Nel dettaglio, ci sarà una soluzione particolare (matrice) P per cui $F= P+t( ( 2 , 1 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ) ) $ con $ t in R $