Limite forma indet. infinito-infinito

Messaggioda rocco95 » 16/05/2019, 16:03

Ciao a tutti.Sto provando a risolvere questo limite : $lim_(x->0^+)1/(e^x-1)-(1/x)$ che genera la forma indeterminata infinito-infinito.Per risolverla ho provveduto a fare il m.c.m. ,trasformandola in una forma indeterminata 0/0 .A questo ho applicato il limite notevole dell'esponenziale sia al numeratore che al denominatore ma purtroppo non ottengo il risultato corretto.Dove sbaglio? Ecco il procedimento che ho fatto:
$lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)]/[(e^x-1)x]$ = $lim_(x->0^+) [x-((e^x-1)/x)*x]/ [x * ((e^x-1)/x)*x]$ = $lim_(x->0^+) (0/x^2)$ ...il risultato deve essere -1/2... Grazie anticipatamente.
rocco95
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Re: Limite forma indet. infinito-infinito

Messaggioda pilloeffe » 16/05/2019, 17:25

Ciao rocco95,
rocco95 ha scritto:Dove sbaglio?

Qui:
rocco95 ha scritto:$ \lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)]/[(e^x-1)x] = \lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)/x \cdot x]/[x (e^x-1)/x \cdot x] $

Una volta scritto il limite nella forma

$ \lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)]/[(e^x-1)x] = - \lim_(x->0^+) [e^x - 1 - x]/[(e^x-1)x] $

puoi applicare la regola di de l'Hôpital (che però so che al tuo docente non piace... :wink: ) oppure sviluppare in serie $ e^x $
pilloeffe
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Re: Limite forma indet. infinito-infinito

Messaggioda rocco95 » 16/05/2019, 19:59

Ah sì grazie mille ecco dove sbagliavo.. comunque si è vero il mio prof.odia de Hopital per cui applico lo sviluppo di Taylor di e^x...posso chiederti perché in questo caso non funzionano i limiti notevoli ? Non ho ben capito quando utilizzare i limiti notevoli e quando gli sviluppi in serie...di solito io procedo così: provo con i limiti notevoli e se si presenta ancora la forma indeterminata,solo a quel punto applico gli sviluppi di Taylor..in un certo senso vado a tentativi...però so che non è un buon approccio...
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Re: Limite forma indet. infinito-infinito

Messaggioda pilloeffe » 16/05/2019, 23:18

Brevemente: i limiti notevoli non sono altro che sviluppi in serie al primo ordine. Quando si verificano delle cancellazioni fra termini del primo ordine, come nel caso in esame al numeratore della frazione, i limiti notevoli non sono più sufficienti ed è necessario ricorrere agli sviluppi in serie arrestati all'ordine opportuno (in questo caso basta il secondo).
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Re: Limite forma indet. infinito-infinito

Messaggioda rocco95 » 17/05/2019, 18:22

Perfetto grazie mille pilloeffe per la spiegazione...adesso mi è tutto molto più chiaro...
rocco95
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