Orientazione superficie e flusso !!

Messaggioda mandraculaita1 » 04/05/2019, 18:43

Ciao Ragazzi ho il seguente problema :
Sia $ Sigma $ la superficie generata dalla rotazione di un angolo giro intorno all'asse z della curva nel piano (x,z) di equazione $ x=z^4 $ con $ zin R $.
Sia S la parte di $ Sigma $ compresa tra i piani $ z= 1 $ e $ z= 2 $ formata dai punti di ordinata positiva.
Orientata S in modo che il versore normale positivo nel punto (0,1,1) formi con il vettore $ -j+2k $ l'angolo $ pi $ .

Calcolare il flusso del campo $ W(x,y,z)= y/z^2 k $ attraverso S.


Svolgendo il problema ho trovato difficoltà a trovare il versore normale positivo nel punto (0,1,1) che forma con -j+2k l'angolo piatto $ pi $.
ho parametrizzato la curva e l'ho ruotata attorno a z, poi
ho calcolato ndS = $ (t^4costheta, t^4 sentheta, -4t^7) $ come procedo ? Grazie mille.
mandraculaita1
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Re: Orientazione superficie e flusso !!

Messaggioda Quinzio » 16/05/2019, 21:49

In genere i 2 vettori $\vec v$ e $-\vec v$ (che puntano in direzione opposta) formano un angolo piatto tra di loro. Ti torna ?
Quindi $ -j+2k $ e $ j-2k $ formano un angolo piatto.

Per proseguire l'esecizio la formula a cui fare riferimento e'
$\int \int_\Sigma (\vec W \cdot \vec n)/(\vec k \cdot \vec n) \ d\sigma$,

dove $\Sigma$ e' la proiezione di $S$ sul piano $xy$.

Tu hai trovato il vettore perpendicolare alla superficie $S$, che e' $ (t^4costheta, t^4 sentheta, -4t^7) $.
Se lo normalizziamo, abbiamo:

$\vec n = 1/\sqrt(1+16t^6) (\cos \theta, \sin \theta, -4t^3) $.

Adesso vediamo che in questo particolare esercizio siamo fortunati perche' non dobbiamo procedere con calcoli complicati.
Infatti, siccome $\vec W = y/z^2 \vec k$, se lo andiamo a sotituire nella formula con l'integrale su $\Sigma$,
otteniamo semplicemente
$\int \int_\Sigma y/z^2 \ d\sigma$.

Portandoci in coordinate polari, facciamo le sostituzioni:
$y = \rho \sin \theta$
$z^2 = \sqrt(\rho)$
e come estremi abbiamo
$\theta \in [0, \pi]$
$\rho \in [1, 16]$.

L'integrale allora diventa
$\int_0^\pi \int_1^{16} (\rho \sin\theta)/(\sqrt(\rho)) \rho\ d\rho\ d\theta\ $

Alla fine bisogna invertire il segno del risultato per tenere conto dell'orientazione della superficie.
Quinzio
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Re: Orientazione superficie e flusso !!

Messaggioda mandraculaita1 » 21/05/2019, 17:10

scusa ora che leggo meglio ma tetha varia da 0 a pi-greco ok
ma t o ro, parametrizzando la superficie di rotazione varia tra 1 e 2, ho imposto z=t.
Poi devo sostituire la superficie di rotazione parametrizzata nel campo vettoriale, non passarlo in coord polari.
Fatto ciò la moltiplico per l'elemento d'area nds. e calcolo il flusso.
Non mi trovo con i tuoi passaggi. Grazie.
mandraculaita1
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