sviluppo di Taylor

Messaggioda Clairecc » 17/05/2019, 18:44

buongiorno a tutti,

avrei bisogno di un'altra spiegazione (scusate se sto usando spudoratamente questo forum :oops: )purtroppo nel mio libro non c'è menzione dello sviluppo di Taylor e avrei bisogno che qualcuno me lo spiegasse.
In particolare mi trovo in difficoltà con una dimostrazione di una distribuzione di Poisson.
Allora si deve dimostrare che $ E(X) = \sum_{x=0}^{+infty} xe^{\-lambda}\lambda^x/{x!} = \lambda $.
praticamente il mio libro di testo scrive:
$\sum_{x=1}^{+infty}xe^{\-lambda}\lambda^x/{x!}$ perché per $x=0$ risulterebbe 0
e questo il passaggio che non mi torna:
$\sum_{x=1}^{+infty}xe^{\-lambda}\lambda\lambda^{x-1} /{(x-1)!x }$ (scusate lambda non mi viene al numeratore). Da li in poi non è un problema.

Il mio problema sta nel capire questo sviluppo che credo sia quello di Taylor, cioè non riesco a capire l'extra $\lambda$ al numeratore.

grazie a chiunque vorrà darmi una mano.
Clairecc
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Re: sviluppo di Taylor

Messaggioda tommik » 17/05/2019, 18:54

Se il problema è tutto lì....ha scritto $x! =x(x-1)!$ e $lambda^x=lambda*lambda^(x-1)$, corretto

di lì in poi è facile

$lambdae^(-lambda)sum_(x=1)^(oo)lambda^(x-1)/((x-1)!)=lambdae^(-lambda)sum_((x-1)=0)^(oo)lambda^(x-1)/((x-1)!)$

ora basta sostituire $(x-1)=y$ ed ottieni $mathbb{E}[X]=lambdae^(-lambda)e^(lambda)=lambda$

dato che la somma indicata è lo sviluppo di $e^lambda$

Quando farai la varianza, per calcolare $mathbb{E}[X^2]$ basterà porre $x^2=[x(x-1)+x]$ e procedere in modo analogo


....PS: domani parto per gli USA, non so quanto potrò essere presente nei prossimi giorni

:smt039
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Re: sviluppo di Taylor

Messaggioda Clairecc » 17/05/2019, 19:13

Grazie della risposta.
Il fattoriale mi era chiaro è quel $\lambda^x=\lambda*\lambda^{x-1}$che non riesco a capire... cioè a cosa corrisponde quel $\lambda$?
P.s.: bello! Divertiti negliStates:D
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Re: sviluppo di Taylor

Messaggioda tommik » 17/05/2019, 19:17

$lambda^x=lambda*lambda^(x-1)$ è la proprietà delle potenze che si studia alle scuole medie....ha fatto così per "tirar fuori" un $lambda$ dalla sommatoria in modo che "dentro" ci rimanga lo sviluppo1 di $e^(lambda)$

...mi pare una cosa più che elementare.....o no?

Prova a calcolare $mathbb{E}[X^2]=lambda^2+lambda$ con il suggerimento che ti ho dato così vedi se hai capito....tanto dovrai farlo per forza fra qualche giorno

Cosa rappresenta $lambda$ in una poisson? Media ed anche Varianza della variabile


....vado a lavorare, non a divertirmi

Note

  1. su qualunque libro di matematica trovi gli sviluppi delle principali funzioni elementari, ad esempio $e^x=sum_(n=0)^(+oo)x^n/(n!)$
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Re: sviluppo di Taylor

Messaggioda Clairecc » 17/05/2019, 19:38

L'avevo ipotizzato ma non ne ero sicura :-D , avevo visto in internet certe cose a proposito di Taylor che mi stavano fuorviando :shock:...
Comunque sia grazie mille per la pazienza, purtroppo io faccio una facoltà che con la statistica centra ben poco.

Sono sicura che di sera uscirai o no? :-D :-D
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