Oggi ci è stata spiegata la "contrazione" del tempo in relatività...
"Contrazione del tempo" non è il modo di dire più corretto. Un modo migliore è : " Rallentamento degli orologi in moto rispetto a quelli di quiete" , ma neanche questa dizione rende ragione piena e chiara di quello che succede. Occorre qualche spiegazione in più.
Spero ti sia chiaro , prima di tutto, che cosa debba intendersi per "osservatore inerziale" . Diciamo che si tratta di osservatori che, non sottoposti a forze e neppure a campi gravitazionali , si muovono a velocità costante rispetto al riferimento delle cosiddette stelle fisse ( che fisse non sono...). Questa è una definizione classica, ma si potrebbero fare mille obiezioni. Noi invece ci accontentiamo, e prendiamo atto di un principio molto importante :
osservatori inerziali diversi descrivono i fenomeni fisici alla stessa maniera. Due OI , in moto relativo tra loro , sono dotati di orologi per misurare intervalli di tempo, e righelli per misurare distanze, tra "eventi" che si verificano nello spaziotempo; che cosa è un "evento" ? È un fatto che accade in un certo punto dello spazio e in un dato istante di tempo, indipendentemente da chi lo sta osservando.
Prendiamo allora due osservatori A e B , in moto relativo tra loro, con una certa velocità relativa $vecv = "cost" $ . Di solito , si assume che il moto relativo avvenga lungo la direzione dell'asse $x$ assegnato a uno dei due, supponiamo $A$. Assumiamo che $A$ sia in "quiete" , quindi $B$ si muove con la velocità detta rispetto ad $A$.
Detta : $(O,x,y,z) $ una terna cartesiana di $A$ , e $(O',t',x',y',z')$ una terna cartesiana di $B$ , questa scorre su quella di $A$ lungo il comune asse $x=x'$, con velocita $v$.
Supponiamo dati due eventi $E_1$ ed $E_2$ nello spaziotempo ; sia $A$ che $B$ misurano la distanza spaziale tra gli eventi , che per semplicità supponiamo abbiano luogo sull'asse $x$ per $A$ , e perciò su $x'$ per $B$; i due misurano anche l'intervallo di tempo tra gli stessi, ciascuno di essi fa le misure col suo righello e col suo orologio. In generale , si dimostra che il cosiddetto "intervallo spazio-temporale" tra eventi , e cioè la quantità seguente :
$(cDeltat)^2 - (Deltax)^2 = (cDeltat')^2 - (Deltax')^2$
è
invariante per i due osservatori ( anzi, per quanti OI vuoi ! Dipende solo dagli eventi stessi! ) ; di solito questa invarianza si dimostra dopo aver studiato le trasformazioni di Lorentz, che in RR sostituiscono le trasformazioni di Galileo. Ma non è difficile dimostrare l'invarianza dell'intervallo direttamente. Per esempio, v. il testo di Landau-Lifshitz "Teoria dei campi" , nelle prime pagine . Prendiamo ora per buono questo fatto.
Consideriamo due eventi come questi : l'osservatore $B$ , che si trova in un'astronave in moto rispetto ad A, accende un accendino che ha in mano; quindi : $E_1$ = accensione . Dopo un po', B spegne l'accendino ; quindi : $E_2$ = spegnimento. I due eventi sono separati , per B , solo nel tempo proprio $Deltat'$ , non sono separati certo nella coordinata spaziale $Deltax'$ , perchè B è rimasto fermo nella sua astronave, che è il suo riferimento . Invece , rispetto ad $A$ c'è sia separazione spaziale $Deltax$ che separazione temporale $Deltat$ , quindi l'invarianza dell'intervallo diventa :
$(cDeltat)^2 - (Deltax)^2 = (cDeltat')^2 $
da cui : $1-1/c^2((\Deltax)/(\Deltat))^2 = ((\Deltat')/(\Deltat))^2$
e dopo alcuni passaggi, tenendo conto che $((Deltax)/(Deltat) ) = v $ è la velocità con cui B si sposta rispetto ad A , si ha :
$Deltat' = Deltat*sqrt (1-beta^2) $
in cui $\beta = v/c$ è il rapporto tra velocità di B e velocità della luce, sempre minore di 1 per corpi materiali. È evidente , da quanto detto , che risulta :
$Deltat' < Deltat $
di solito ci si riferisce all'inverso di quella radice, che prende il nome di fattore di Lorentz $gamma = (1-beta^2)^(-1/2) $ , numero maggiore di 1 per $v>0$ . Solo se $v=0$ risulta $gamma = 1$ .
Quanto sopra permette di dire che la differenza di
tempo proprio di $B$ ( cioè $Deltat'$ ) tra due eventi è minore della differenza di tempo coordinato di $A$ (cioè $Deltat$ ) tra gli stessi eventi . Questo è il significato della frase un po; ambigua :" Il tempo degli orologi in moto scorre più lentamente" .
Potresti pensare che questo sia valido solo per eventi che avvengono "proprio attaccati" a $B$ , come nell'esempio fatto. Invece no, è un fatto più generale. Ma qui non possiamo scendere tanto nei dettagli.
Una cosa molto importante da dire è questa : per verificare che l'orologio di B , in moto rispetto ad A , rallenta il suo andamento rispetto all'orologio di A , occorre che l'orologio di B venga confrontato almeno con due orologi di A; non ha senso parlare di rallentamento di orologi in moto in assoluto ; l'astronauta B non si accorge affatto che il suo tempo ( definito "il tempo proprio") sta scorrendo più lentamente rispetto al "tempo coordinato" di A . SE il cuore di B fa 70 bpm a terra, continua a fare 70 bpm anche se la sua astronave viaggia a $0.9c$ rispetto ad A che è rimasto a terra .
Di seguito ho messo dei link a vecchie discussioni sull'argomento, dove puoi trovare altre informazioni.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... to#p647809https://www.matematicamente.it/forum/vi ... to#p945498https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 35#p813457Inoltre ti raccomando di cercare dei buoni libri, o anche buone dispense sul web ( ce n'è una marea dilagante, ma è difficile scegliere...) per approfondire certe questioni. Per esempio, proprio oggi ho scoperto che articolo in inglese sulla relatività speciale è stato rieditato neanche un mese fa :
https://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativityin fondo a questo articolo , trovi una sezione dedicata ai principianti . Guardaci, ci sono vari collegamenti buoni. Se vuoi ti do qualche suggerimento, per esempio queste note dell'università della Virginia:
http://www1.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/notes/In quanto al tuo esercizio, dovrebbe essere chiaro qual è il tempo proprio e quale quello coordinato, come si fa trovare la velocità relativa, e a quale osservatore l'evento è solidale. Per inciso, il testo di quell'esercizio è scritto malissimo, in modo da non far capire che cosa si chiede, e questo è deleterio, a mio avviso. La prima cosa in RR è la chiarezza.
Non mi illudo che sia tutto chiaro (a proposito di chiarezza...) , quindi se hai domande falle pure.
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.