Leggi della fisica: affette da errori di misura?

Messaggioda tmox » 17/05/2019, 21:50

Buonasera.
Poiché sto seguendo un corso di Teoria della Misura, la trattazione dell'inevitabile errore che si compie nell'effettuare una misurazione mi ha fatto sovvenire la seguente domanda:

Le leggi della fisica sono esatte? E' possibile verificarle davvero?

Mi spiego.

Consideriamo ad esempio il Secondo Principio della Dinamica: \(\displaystyle F=ma \)
Partendo da esso, posso aspettarmi che se ho due corpi identici, con masse \(\displaystyle m \) e \(\displaystyle 2m \), a parità di forza avrò accelerazioni rispettivamente \(\displaystyle 2a \) ed \(\displaystyle a \).
Anzitutto avere due corpi uguali che abbiano esattamente uno il doppio della massa dell'altro è praticamente impossibile. Se anche volessi realizzarli, le mie misure sarebbero affette da imprecisioni e quindi non potrei mai farlo. In secondo luogo, se volessi studiare le accelerazioni delle due masse (magari misurando lo spazio percorso con un l'impiego di un metro), anche stavolta sarei vittima di imprecisioni e quindi potrei ricavare soltanto una verifica approssimativa della legge \(\displaystyle F=ma \). Dunque come verificarne la correttezza?


La stessa domanda mi sovviene pensando alla Legge di Coloumb, per la quale la forza agente tra due particelle cariche è direttamente proporzionale al prodotto delle loro cariche e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Oppure possiamo pensare alla Legge di Gravitazione Universale, che invece delle cariche considera le masse dei corpi celesti.
Anche in questo caso, la misura che posso compiere in merito alla carica detenuta dalle particelle, oppure alla massa dei pianeti, sarà sempre approssimativa. Inoltre come verificare il fatto che la forza agente è inversamente proporzionale al QUADRATO della loro distanza? Se anche usassi una tecnica ipertecnologica per valutare la variazione della forza con la distanza, le mie misure sarebbero affette da errore.


Concludo con un ulteriore quesito in merito alla teoria della misura. Dopo aver studiato le varie sorgenti di errore, ho avuto l'impressione che l'esprimere "l'incertezza" della misura fornisca un informazione del tutto approssimativa.

Si supponga che con un righello si misuri una lunghezza di 50 cm con incertezza 1 millimetro. I tratti dei millimetri sono costituiti da linee di inchiostro con uno spessore finito (a differenza del "punto", ente mentale privo di dimensioni), quindi dov'è che il millimetro finisce? Potrei considerare la zona centrale dello spessore del tratto, oppure la sua parte iniziale, oppure quella finale. Tutto questo fa si che l'intervallo di spazio suggerito dalla lettura "50 cm con incertezza 1 millimetro" dipenda dal buonsenso di chi compie la misura. Ma questo si ricollega alle mie domande iniziali. Le leggi della fisica sono esatte o dipendono dal buonsenso? Fino a che scala possiamo ritenere trascurabili eventuali imperfezioni in queste leggi? E' possibile risentirne gli effetti, ad esempio nella meccanica di precisione o nelle traiettorie delle sonde spaziali?

Grazie mille!
tmox
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Re: Leggi della fisica: affette da errori di misura?

Messaggioda singularity » 18/05/2019, 12:34

Ciao tmox, hai fatto davvero un sacco di domande! :-D

Proviamo a sciogliere qualche dubbio:

Come hai notato, ogni misura di una grandezza fisica è inevitabilmente accompagnata da un errore sperimentale. Un altro modo per dire ciò è dire che ogni volta che facciamo una misura di una grandezza $A$, anziché associarle UN valore preciso, le stiamo assegnando un RANGE di valori, di solito presentato così:

$A \pm \delta A$


dove $\delta A$ è l'errore associato alla misura.

A questo punto credo che possiamo già dare una risposta alla tua prima domanda:

tmox ha scritto:Le leggi della fisica sono esatte? E' possibile verificarle davvero?


Le leggi della fisica sono esatte entro gli errori sperimentali. Immagino che questa risposta potrebbe non soddisfarti, ci torniamo sopra appena dopo aver discusso il tuo primo esempio e risposto alla domanda:

tmox ha scritto:Consideriamo ad esempio il Secondo Principio della Dinamica: $ F=ma$ [...] come verificarne la correttezza?


Quando vuoi verificare il secondo principio della dinamica, puoi fare una misura diretta della forza $F$ con un dinamometro, una misura diretta di $m$ con una bilancia e una misura indiretta di $a$ tramite misure dirette di spazio e tempo. L'errore associato ad $a$ si ottiene facendo la cosidetta propagazione degli errori nelle misure indirette. Dopo facciamo la stessa cosa con il prodotto $ma$.

A questo punto abbiamo due misure (intervalli) da confrontare:

$F \pm \delta F$ e $ma \pm \delta(ma)$

Per vedere se sono "uguali" dobbiamo chiederci: gli intervalli si sovrappongono? Di quanto? Qual è il livello di sovrapposizione che ci soddisfa per ritenerli uguali?

Le risposte alle domande qui sopra non sono scontate come potrebbe sembrare, in particolare quella sottolineata.
Non mi cimento oltre nella spiegazione, perché si aggiungerebbero altre cose e finirei per scrivere un papiro (e magari anche qualche scemenza). Ti basti sapere che anche qui ci si affida a delle convenzioni e ti rimando al libro suggerito in seguito per risposte precise.

Passiamo alla "questione righello". Prendiamo il tuo righello con incertezza di 1 millimetro, immaginiamo che, nel momento della misura, il punto interessato giaccia sulla linea di 50,1 cm. La tua domanda è del tutto lecita e la risposta è: NON puoi sapere dove il millimetro inizia né finisce. Quello che sai, però, se ti fidi di chi ha costruito il righello e ti fidi del fatto che non si sia deformato (quanto casino per un millimetro, eh?), è che sicuramente quella misura è MAGGIORE di 50,0 cm e MINORE di 50,2 cm. Motivo per il quale, una misura del genere la presenteresti come:

$(50.1 \pm 0.1)\quad cm$


Questo è quello che ti è dato sapere su tale misura, niente di più e niente di meno!

E così mi ricollego alla mia riposta precedente (e chiudo, resisti ancora qualche riga!): Le leggi della fisica sono esatte entro gli errori sperimentali. Non ci si può fare niente, o meglio: l'unica cosa che si può fare, e che poi è uno dei doveri del fisico sperimentale, è cercare di ridurre al minimo l'errore, per quanto inevitabile esso sia. Il lato negativo è che non avremo mai una misura "esatta" (qualunque cosa voglia dire), ma il lato positivo è che a noi la precisione della misura interessa fino ad un certo punto: Se un falegname deve costruire una porta da ficcare in un uscio, gli interesserà sapere se quella porta è alta 2,000 metri piuttosto che 2,050 metri o anche 2,005 metri! Perché, altrimenti, la porta potrebbe essere troppo alta per entrare nell'uscio! Di sicuro non gliene frega niente però se la porta ha un micrometro ($10^ -6$ metri) in più o in meno, perché la porta ci entrerà comunque1. Probabilmente ti starai chiedendo: "ma allora un fisico sperimentale è un po' come un falegname?", la risposta è che, probabilmente, ci sono diverse somiglianze :-D .

Comunque, scherzi a parte, spero di essere riuscito a darti una mano a comprendere ciò che ti sfuggiva. Sappi che ce n'è una marea di roba da sapere in proposito! Se sei interessato ad approfondire ti consiglio di dare un'occhiata (leggi: studio approfondito) al libro "An introduction to Error Analysis" di John R. Taylor, pubblicato anche in italiano.

Note

  1. Altro esempio: se vuoi descrivere la posizione di una nave dentro un porto, hai bisogno di sapere la sua estensione spaziale, perché la dimensione della nave pareggia (se non addirittura supera) la dimensione degli oggetti che definiscono il porto o delle altre navi. Di contro, se vuoi descrivere la posizione di una nave nell'oceano, latitudine e longitudine sono più che sufficienti, il che vuol dire che stiamo implicitamente trattando la nave come un "punto" e che della sua estensione spaziale non ce ne può fregar di meno!
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Re: Leggi della fisica: affette da errori di misura?

Messaggioda tmox » 18/05/2019, 17:13

singularity ha scritto: abbiamo due misure (intervalli) da confrontare:

$F \pm \delta F$ e $ma \pm \delta(ma)$

Per vedere se sono "uguali" dobbiamo chiederci: gli intervalli si sovrappongono? Di quanto? Qual è il livello di sovrapposizione che ci soddisfa per ritenerli uguali?
Le risposte alle domande qui sopra non sono scontate come potrebbe sembrare, in particolare quella sottolineata.



Ciao Singularity. Grazie davvero per l'esauriente risposta.
Premetto che mentre la leggevo mi chiedevo per quale ragione i libri di fisica (o almeno il mio) non riportino considerazioni simil alle tue. Perlomeno mi hai convinto di non essermi fatto una domanda propriamente stupida.
Ammesso che anche nelle leggi fisiche dobbiamo relazionarci sempre un incertezza, possiamo desumere che essa sia sufficientemente piccola da non rientrare nelle considerazioni "macroscopiche" della meccanica classica? Mi spiego meglio: se nella formulazione che hai proposto:

$F \pm \delta F$ e $ma \pm \delta(ma)$

sfruttassi degli strumenti molto precisi, al punto di ottenere incertezze dell'ordine del picoNewton, picoMetro e picoSecondo, allora probabilmente potrei definire la legge fisica in esame "abbastanza esatta per quello che mi interessa farci". Qualcuno ha mai compiuto una simile verifica? Sarebbe il caso, visto che lo studente medio non ha gli strumenti per farla, ma vorrebbe potersi fidare della robustezza delle nozioni apprese.
Inoltre le applicazioni che posso fare delle leggi fisiche sono molteplici. Nel primo post citavo l'esempio delle traiettorie delle sonde spaziali... questo perchè se ho un incertezza di un picoMetro ogni chilometro che compio, ma percorro 300 mila chilometri, beh allora la mia legge fisica quanto robusta sarebbe...?

Diciamo che questo "alone di inconsapevolezza" mi infastidisce alquanto!
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Re: Leggi della fisica: affette da errori di misura?

Messaggioda singularity » 18/05/2019, 17:51

tmox ha scritto:ottenere incertezze dell'ordine del picoNewton, picoMetro e picoSecondo, allora probabilmente potrei definire la legge fisica in esame "abbastanza esatta per quello che mi interessa farci".


E se la quantità in questione fosse già dell'ordine del piconewton? Saresti comunque soddisfatto?

È una domanda a trabocchetto, per evitare ciò di solito si ragiona in termini di errore relativo (es: l'errore $\delta F$ è l' 1% della misura $F$).

tmox ha scritto:Diciamo che questo "alone di inconsapevolezza" mi infastidisce alquanto!



Non ti lasciare infastidire troppo! Comprendo perfettamente che ad un primo approccio ci si può sentire in po' spaesati/presi in giro, ma in realtà questa "inconsapevolezza" è un'ottima palestra per capire cosa è la fisica.

Tutta la fisica, non solo quella sperimentale, è basata su approssimazioni! Probabilmente ti sono già familiari i celeberrimi $o$ piccoli, $\varepsilon$ "infinitesimi" e sviluppi di Taylor troncati al secondo ordine, tutte approssimazioni!

Questo è anche utile per distinguere cosa è il modello fisico e cosa è la realtà fisica (le misure). Nel modello fisico della meccanica newtonia $F=ma$ strettamente! Le misure invece hanno i loro limiti, quindi $F=ma$ entro gli errori sperimentali.

tmox ha scritto:se ho un incertezza di un picoMetro ogni chilometro che compio, ma percorro 300 mila chilometri, beh allora la mia legge fisica quanto robusta sarebbe...?


Questa domanda purtroppo non l'ho capita bene... Se misuri 300'000 km cerca di non misurarli un km alla volta!
Per quanto riguarda la "robustezza" delle teorie fisiche, vai tranquillo che tutta la fisica che si studia nei libri, (la cosidetta mainstream phyisics) è confermata sperimentalmente entro degli errori molto piccoli!

Ti invito comunque a leggere i primi capitoli del Taylor, vedrai che troverai molte risposte (e molto più precise di quelle che potrei fornirti io adesso!).
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Re: Leggi della fisica: affette da errori di misura?

Messaggioda tmox » 18/05/2019, 20:50

singularity ha scritto:Questa domanda purtroppo non l'ho capita bene... Se misuri 300'000 km cerca di non misurarli un km alla volta!
Per quanto riguarda la "robustezza" delle teorie fisiche, vai tranquillo che tutta la fisica che si studia nei libri, (la cosidetta mainstream phyisics) è confermata sperimentalmente entro degli errori molto piccoli!


Ok. Quindi dici che noi "studenti" possiamo stare tranquilli sul fatto che le leggi fisiche possano essere verificate sperimentalmente con incertezze molto piccole? Ad esempio \(\displaystyle F=ma \) é stata verificata con errori molto piccoli, al punto da potersi considerare "vera strettamente" per ogni applicazione prevista dalla meccanica classica, senza rischiare di commettere errori per noi "significativi" a causa di una sua NON stretta veridicità? Lo stesso vale per la Forza di Coloumb e la Gravitazione Universale?

L'esempio della sonda spaziale ed i chilometri percorsi voleva porre una riflessione sugli effetti di una legge fisica non robusta. Ad esempio se anche \(\displaystyle F=ma \) é stata verificata con errori molto piccoli, un eventuale non veridicità di questa legge (poniamo che in realtà la legge vera fosse \(\displaystyle F=0.9999999ma \)) potrebbe manifestarsi con errori nel calcolo di traiettorie molto lunghe? É mai successo?
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Re: Leggi della fisica: affette da errori di misura?

Messaggioda singularity » 19/05/2019, 12:41

tmox ha scritto:Ok. Quindi dici che noi "studenti" possiamo stare tranquilli sul fatto che le leggi fisiche possano essere verificate sperimentalmente con incertezze molto piccole?


Si.

tmox ha scritto:Ad esempio se anche \(\displaystyle F=ma \) é stata verificata con errori molto piccoli, un eventuale non veridicità di questa legge (poniamo che in realtà la legge vera fosse \(\displaystyle F=0.9999999ma \)) potrebbe manifestarsi con errori nel calcolo di traiettorie molto lunghe? É mai successo?


Secondo me ti stai "incartando" un po' nei ragionamenti, o comunque io non riesco a capire bene i tuoi dubbi. Che problema c'è con le traiettorie molto lunghe? Inoltre l'esempio mi sembra quanto mai infelice: tieni presenti che $F=ma$ è sostanzialmente la definizione di $m$ (massa inerziale di un corpo).
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Re: Leggi della fisica: affette da errori di misura?

Messaggioda tmox » 19/05/2019, 16:09

singularity ha scritto: Secondo me ti stai "incartando" un po' nei ragionamenti, o comunque io non riesco a capire bene i tuoi dubbi. Che problema c'è con le traiettorie molto lunghe? Inoltre l'esempio mi sembra quanto mai infelice: tieni presenti che $F=ma$ è sostanzialmente la definizione di $m$ (massa inerziale di un corpo).


Diciamo che se considero una forza agente su un corpo, ed integro le accelerazioni, posso stimare la traiettoria seguita dal corpo. Su carta uso la legge \(\displaystyle F=ma \) strettamente, se la forza è 100 N e la massa è 100 kg, per me l'accelerazione è 1 metro al secondo quadro. Nella realtà invece sia la forza che la massa sono note con incertezze, e quindi anche la relazione stessa \(\displaystyle F=ma \) può essere verificata solo con incertezze… (chissà che magari la relazione corretta è, come ipotizzavo per assurdo, \(\displaystyle F=0,999999ma \)). Visto che il concetto base del thread era verificare la correttezza delle leggi fisiche, e potendo noi verificarle con errori piccoli ma pur sempre presenti, mi chiedevo se l'accumulo di un errore intrinseco nella legge che utilizziamo può ripercuotersi nella validità nostri conti. E quindi mi chiedevo se fosse mai accaduto. Inoltre mi dicevi che queste leggi sono state verificate molto accuratamente, sapresti dirmi quanto?
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