Ogni successione convergente è limitata

[tetravalenza]

Ciao, in questa vecchia discussione

https://www.matematicamente.it/forum/og ... 74101.html

si dà la dimostrazione del teorema "Ogni successione convergente è limitata" che è presente anche sul testo di Analisi che sto leggendo io. Tuttavia non mi è chiaro perché si debba procedere prendendo \(\epsilon=1\). Tant'è che sul libro (il Marcellini) la tipografia lascia a desiderare e quell'1 sembra una l per cui io all'inizio avevo cercato di capire la dimostrazione con la l. Poi mi è sorto il dubbio... allora alla fine chiedo, non si può semplicemente sostituire l'uno con la \(\epsilon\) oppure la dimostrazione non vale più? In quest'ultimo caso perché?

Inoltre, volevo chiedervi se la successione \(\frac{n-1}{n}\) è limitata ed è \(M=2\), io ho svolto nel modo seguente
\[
\left|a_{n}\right|=\left|\frac{n-1}{n}\right|=\left|1-\frac{1}{n}\right|=\left|1+(-\frac{1}{n})\right|\leq 1+\left|-\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{n}
\]
dato che la successione \(\frac{1}{n}\) è limitata ed è \(M=1\)
\[
\frac{1}{n}\leq 1, \forall n\in N
\]
a maggior ragione sarà
\[
\begin{split}
&1+\frac{1}{n}\leq 1+1, &\forall n\in N\\
&1+\frac{1}{n}\leq 2, &\forall n\in N
\end{split}
\]
È corretta questa dimostrazione?

[dissonance]

Sul prendere \(1\) o un altro numero, chiaramente va bene qualsiasi cosa, puoi prendere pure \(\epsilon=10\) se ti piace di più.

[tetravalenza]

Sul prendere \(1\) o un altro numero, chiaramente va bene qualsiasi cosa, puoi prendere pure \(\epsilon=10\) se ti piace di più.

Ciao a me piace \(\epsilon\) e chiedevo se si può procedere con la dimostrazione mantenendolo anziché specificarne uno a piacere. Se si può fare allora perché le dimostrazioni di questo teorema sono fatte prendendo invece \(\epsilon=1\)?

[gugo82]

Ecco: stai sperimentando la differenza tra le espressioni “per ogni $epsilon >0$ vale…” e “fissato $epsilon >0$ vale…”.

[pilloeffe]

Ciao tetravalenza,

Ciao a me piace $\epsilon $ e chiedevo se si può procedere con la dimostrazione mantenendolo anziché specificarne uno a piacere. Se si può fare allora perché le dimostrazioni di questo teorema sono fatte prendendo invece $\epsilon =1 $?

Immagino per comodità, ma non è che è obbligatorio...
Per ipotesi la successione è convergente, quindi si ha $lim_{n \to +\infty} a_n = l $, che significa che
$\AA \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon) : \AA n > N \text{ si ha } |a_n - l | < \epsilon $

La tesi è che la successione è limitata, cioè $|a_n | <= M $, ove $M $ è un numero opportuno.
Dalla definizione è evidente che si può scegliere qualsiasi valore di $\epsilon $, ma se proprio ti piace e vuoi tenerti $ \epsilon $ potresti fare uso della disuguaglianza triangolare:

$|a_n| = |a_n - l + l| <= |a_n - l| + |l| $

Quindi, dato che per ipotesi...

[gugo82]

@pilloeffe: Rimane il fatto che $epsilon$ va fissato.

[tetravalenza]

OK grazie a tutti per il chiarimento