Ciao, in questa vecchia discussione
https://www.matematicamente.it/forum/og ... 74101.html
si dà la dimostrazione del teorema "Ogni successione convergente è limitata" che è presente anche sul testo di Analisi che sto leggendo io. Tuttavia non mi è chiaro perché si debba procedere prendendo \(\epsilon=1\). Tant'è che sul libro (il Marcellini) la tipografia lascia a desiderare e quell'1 sembra una l per cui io all'inizio avevo cercato di capire la dimostrazione con la l. Poi mi è sorto il dubbio... allora alla fine chiedo, non si può semplicemente sostituire l'uno con la \(\epsilon\) oppure la dimostrazione non vale più? In quest'ultimo caso perché?
Inoltre, volevo chiedervi se la successione \(\frac{n-1}{n}\) è limitata ed è \(M=2\), io ho svolto nel modo seguente
\[
\left|a_{n}\right|=\left|\frac{n-1}{n}\right|=\left|1-\frac{1}{n}\right|=\left|1+(-\frac{1}{n})\right|\leq 1+\left|-\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{n}
\]
dato che la successione \(\frac{1}{n}\) è limitata ed è \(M=1\)
\[
\frac{1}{n}\leq 1, \forall n\in N
\]
a maggior ragione sarà
\[
\begin{split}
&1+\frac{1}{n}\leq 1+1, &\forall n\in N\\
&1+\frac{1}{n}\leq 2, &\forall n\in N
\end{split}
\]
È corretta questa dimostrazione?