Grazie per le risposte : )
Bokonon ha scritto:Vuoi sapere come si arriva allo sviluppo della serie di Taylor?
Si, del polinomio di Taylor
Bokonon ha scritto:...perchè Lagrange non c'entra nulla
su un sito internet, è presente la dimostrazione di come si ricava il polinomio di Taylor, sfruttando proprio il teorema di Lagrange
se vuoi ti mando il link in privato
gugo82 ha scritto:Dunque il polinomio di Taylor di ordine $ n $ è caratterizzato dall’avere le prime $ n $ derivate in $ x_0 $ coincidenti con quelle di $ f $.
Si gugo82, cioè quello che mi stai dicendo che le $f,p$ ha un contatto di ordine $n$ in $x_0$, sul libro
Pagani-Salsa, ho capito, leggendo di nuovo ho capito il procedimento, quello che scrivo è in diretta
Consideriamo $f:(a,b) to mathbb{R}$ derivabile in $x_0 in (a,b)$ e sia $x in (a,b)$ quindi possiamo riscrivere
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ per $x to x_0.$
se considero il polinomio $T_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$ possiamo dire che in un intorno di $x_0$ il polinomio $T_1$ approsima $f$, con la seguente proprietà
$T_1(x_0)=f(x_0) \ qquad T'_1(x_0)=f'(x_0)$
la quale si traduce dicendo che $f, T$ hanno un contatto di ordine $1$ in $x_0.$
Quindi in generale si ha per definizione
Siano $f,g$ $: (a,b) to mathbb{R}$ si dice che hanno un contatto di ordine $n$ in $x_0$ se $f,g$ sono derivabile $n$ volte in $x_0$ e se vale $f^((k))=g^((k)) \qquad forall k=0,1,...,n$
Ovviamente, più alto è il valore di $n$ è migliore sarà l'approssimazione di $f$ in $x_0$, quindi dobbiamo determinare un polinomio $T_n$ di grado $n$, il quale abbia un contatto di ordine $n$ con $f$ in un intorno di $x_0$.
Quindi per determinare un polinomio di questo tipo, possiamo prendere spunto dal caso $n=1$, inoltre, dalla definizione sudetta si ha il polinomio nella seguente forma:
$T_n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+...+a_n(x-x_0)^n$
P.S. gugo82 il libro mi ha salvato