esercizio buca di potenziale infinita

[Andrea-.-'']

Buongiorno,
il problema nella foto mi ha suscitato qualche perplessità.
Il primo dubbio che ho riguarda la buca di potenziale infinita, infatti se la buca di potenziale è centrata sull'asse delle y il potenziale è pari altrimenti non lo è e ciò influenza la forma degli autostati. Dal momento che ciò non è specificato posso scegliere la buca di potenziale infinita nella forma che preferisco?
in tal caso prendo $ V(x)={ ( infty|-> x in (-infty,0)U(a,infty) ) ,( 0 rarr x in (0,a)):} $
Così avrei autostati nella forma:
$ u_n(x)={ ( 0|-> x in (-infty,0)U(a,infty) ) ,( sqrt(2/a)sen((npix)/a) rarr x in (0,a)):} $

normalizzando $\psi$ (immagino che $\psi$ sia nulla fuori da $\[0,a]$) ottengo:
$ (psi,psi)=int_infty^infty|psi(x)|^2dx=1 rarr |A|^2=60/(47a^5) $

Con questa scelta e valutando $ psi(x)=sum_(j=0)^infty C_j *u_j(x) $ ricavo
$ C_n=int_-infty^infty u_n^ast(x) psi(x) dx=(-1)^n sqrt(2/a)*(2A^asta^3)/(npi)^3 $
quindi le probabilità associate saranno date da
$ |C_n|^2=|A|^2((-1)^n sqrt(2/a)*(2a^3)/(npi)^3)^2=240/(47(npi)^6) $
ma così risulta $ sum_(j=0)^infty|C_j|^2 != 1 $
che è sbagliato eppure a me il procedimento sembra corretto

Il secondo dubbio che ho riguarda il calcolo del valore medio e dispersione delle energie:
è corretto prendere come valore medio $ <hatH> =sum_(j=0)^infty E_j |C_j|^2 $
e come dispersione:
$ triangle hatH=sum_(j=0)^infty |C_j|^2E_j^2-(sum_(j=0)^infty |C_j|^2E_j)^2 $ ?
(con $ E_j=(pi^2bar(h)^2n^2)/(2ma^2) $ distribuzione dei livelli energetici per la buca di potenziale infinita )

[Nikikinki]

Secondo me se ti riguardi un attimo il problema con calma dovresti farcela. Anzitutto non ho capito perché l'hai chiamato oscillatore armonico se è una buca infinita. Questo problema con l'oscillatore armonico non ha nessun legame. Il modello del potenziale va bene come vuoi (se la funzione fosse stata pari o dispari magari la scelta furba era prendere il potenziale simmetrico). Hai invertito gli intervalli nel modello del potenziale, hai messo zero fuori dalla buca e infinito dentro ma immagino sia una svista perché le autofunzioni di base le hai scritte sugli intervalli giusti.

Il procedimento mi torna, almeno così a prima vista. Il problema è nei calcoli. La normalizzazione è sicuramente sbagliata, riguarda il calcolo e di conseguenza tutto il resto. Le sommatorie partono da $n=1$ non esiste $n=0$ per la buca infinita anche perché le probabilità divergerebbero e la funzione d'onda sarebbe identicamente nulla (anche con gli indici non sei stato molto coerente). Insomma riguarda un po' queste cose e fai bene il calcolo, perché mi pare che il procedimento sia corretto. Non sono tanto sicuro sulla dispersione ma intanto sistema i calcoli di prima, magari poi le cose appaiono più chiare.

[Andrea-.-'']

Ciao Nikikinki grazie mille per la risposta, proverò a rifare i conti tenendo a mente le tue dritte

Per quanto riguarda il titolo il fatto è che stavo anche facendo un esercizio sul oscillatore armonico e ho sovrapposto le due cose
Ora provo a cambiarlo!

[Andrea-.-'']

Non riesco proprio a capire dove ho sbagliato

[Nikikinki]

La normalizzazione ora è corretta, quindi il punto resta sui coefficienti i cui quadrati non sommano a 1. Riguardo un po' il conto e ti dico, magari oggi pomeriggio che ho più tempo.

Edit: Ok ho fatto qualche conto per entrare un po' nell'ottica di questo problema, il punto è che temo che la verifica della sommatoria sia un po' complicata in questo caso. La forma dei coefficienti mi viene uguale a te, anche se la costante numerica è diversa (alla fine facendo il quadrato mi viene $960/(\pi n)^6$); al di là del fatto se sia corretto il mio risultato o il tuo (purtroppo in conti del genere gli errori di calcolo ci saranno sempre, sono più importanti i concetti) il nodo è nel fatto che questo risultato (a te si cancellano dei termini, per adesso non so quale sia giusto poi lo faccio fare al pc) non vale per ogni $n$, poiché per tutti gli $n$ pari si ha $c_n=0$. Quindi la sommatoria di controllo dovresti farla solo sugli $n$ dispari e non puoi usare direttamente quel risultato con la zeta di Riemann. Ho provato ad estrarre da quella serie la sottoserie che vorrei sottrarre ma non riesco a visualizzare come scriverla in modo comodo. Più tardi ci riprovo, in sostanza, in base al mio risultato, vorremmo scrivere

$\sum_(n_d)^infty |C_n|^2=960/\pi^6(\sum_(n=1)^infty 1/n^6-(1/2^6+1/4^6+1/6^6+1/8^6...))$ se riusciamo a scrivere la serie tra parentesi in modo da trovarne il valore si può fare la verifica che vuoi fare tu.

Ho provato anche a riordinare la serie come $\sum_(s=0)^infty 1/(s+1)^6$ ma anche così non riesco a concludere, è un po' che non lavoro con le serie a parte quelle più notevoli. Dovrei riguardarmi qualche teorema forse.

Comunque più tardi ci riprovo (e verifico con un programma di calcolo quanto valga effettivamente quell'integrale), o puoi provare a vedere se nella sezione di analisi qualche matematico con certamente più occhio per le serie riesce a scriverla e risolverla. Tanto per toglierti questo sfizio eh, in genere non viene richiesto di fare questo controllo a meno che il conto non sia semplice.

Edit2: L'integrale esatto è



Come vedi il seno è sempre nullo ed il coseno vale $(-1)^n$ quindi

$C_n=-2\sqrt(15)[(-2+(-1)^n 2)]/(n\pi)^3$ quindi per $n$ pari vale zero e per $n$ dispari vale

$C_n=-2\sqrt(15)(-4)/(n\pi)^3=8\sqrt(15)/(n\pi)^3$ e $|C_n|^2=64*15/(n\pi)^6=960/(n\pi)^6$
da cui le considerazioni che dicevo prima.
Ora mi viene il sospetto che anche chi ha scritto il quesito non abbia considerato che solo i coefficienti con indice dispari sono non nulli , perché poi la stessa difficoltà la incontreremo nel valor medio dell'energia. A meno che non ci sia qualche modo semplice per riscrivere la sommatoria, ma purtroppo è un po' che non le uso in questo modo (oppure che magari usando l'altra base, fatta di funzioni pari o dispari non venga più semplice ma così a spanne non saprei, andrebbe provato). Mi spiace non poterti aiutare diversamente.

[Andrea-.-'']

Sei stato di grande aiuto!
Anche se i conti non tornano del tutto mi basta sapere che il procedimento che ho seguito è corretto, poi magari andrò a ricevimento dal professore per sistemare i conti

[Nikikinki]

Ce l'ho fatta Che sciocco a non vederlo ero arrivato ad un metro dalla meta e mi ero fermato. La serie che voglio sottrarre è, appunto,

$1/2^6+1/4^6+1/6^6+1/8^6+...$ ovvero molto banalmente $\sum_1^(infty) 1/(2k)^6=1/2^6 \sum_1^(infty)1/k^6$ ma allora

$\sum_(n_d)|C_n|^2=960/\pi^6 ( \sum_1^(infty)1/n^6 - 1/2^6 \sum_1^(infty)1/n^6)=960/\pi^6(\pi^6/945-1/2^6 \pi^6/945)=1$.

Insomma era veramente semplice da rappresentare, sono io che sono arrugginito sulle serie. La stessa rappresentazione puoi adattarla per il calcolo dell'energia media

[Andrea-.-'']

Grande!!