Principio di equivalenza ed equazioni

Messaggioda siddy98 » 10/03/2014, 16:48

Ciao a tutti, mi chiedevo se esistesse una dimostrazione dei principi di equivalenza (aggiungendo/moltiplicando la stessa quantità a entrambi i membri...) o dei principi equivalenti (no pun intended), in modo simile al principio di induzione e del minimo intero :D su internet non c'è praticamente nulla!
siddy98
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Re: Principio di equivalenza ed equazioni

Messaggioda mark97 » 20/03/2014, 18:11

La dimostrazione esiste perché è un teorema, sinceramente non la conosco. È anche vero che si intuisce facilmente, ma ai matematici non basta :-D
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Re: Principio di equivalenza ed equazioni

Messaggioda Reborn » 27/09/2016, 22:09

Scusate se rispolvero questo vecchio topic, però sarei interessato alla stessa domanda: partendo dagli assiomi di campo ordinato, come si può dimostrare che x=y -> x+c=y+c ?
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Re: Principio di equivalenza ed equazioni

Messaggioda ZfreS » 19/05/2019, 14:53

Scusate se riprendo questo vecchio thread, ma sarei interessato a capire che dimostrazione può esserci a monte dei principi di equivalenza, che in quanto principi, ho sempre ritenuto non dimostrabili. Ma ora sono curioso.
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Re: Principio di equivalenza ed equazioni

Messaggioda marco2132k » 19/05/2019, 16:06

Probabilmente qualche mod. chiuderà questa discussione perché è vecchia di cinque anni, ma provo a risponderti.

Come puoi parlare di campi completi senza renderti conto che non ha senso "ritenere non dimotrabile" che \( a=b \) implica \( a+c=b+c \)?

Se \( \left(K,{+},{*}\right) \) è un campo (non serve la completezza) allora \( a+c \) è l'immagine secondo \( {+} \) della coppia \( (a,c) \): \( {+} \) è una funzione!
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Re: Principio di equivalenza ed equazioni

Messaggioda ZfreS » 19/05/2019, 17:15

Ok, il discorso è tanto astratto quanto bello, purtroppo ancora non ho le conoscenze per capire le strutture algebriche avanzate ma il fatto che $a=b$ implichi che $a+c=b+c$ si dimostra in maniera semplice o no? Per risparmiarti, puoi passarmi qualche link dove è riportata tale dimostrazione?
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Re: Principio di equivalenza ed equazioni

Messaggioda marco2132k » 19/05/2019, 18:03

ZfreS ha scritto:puoi passarmi qualche link dove è riportata tale dimostrazione?
Credo che qualsiasi libro di matematica (universitario, ovvio) dove sia introdotta un po' di teoria naive degli insiemi dica cos'è una funzione.

Considera \( \mathbb{R} \) con le usuali operazioni di addizione \( {+}\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) e di moltiplicazione; presi due elementi \( a \) e \( b \) reali, se \( a=b \) allora \( a+c=b+c \) poiché in primis le coppie \( (a,c) \) e \( (b,c) \) sono uguali1. Inoltre \( {+} \) è una funzione, e ciò garantisce che ad un determinato input corrisponda un unico valore.

Ho visto una volta un post su MSE dove si parlava di questa cosa. Non lo trovo più però.

Note

  1. Due coppie ordinate \( (x,y) \) e \( (x',y') \) sono uguali se e solo se (per definizione) è \( x=x' \) e \( y=y' \).
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Re: Principio di equivalenza ed equazioni

Messaggioda ZfreS » 19/05/2019, 18:18

Ok, grazie!
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