Esercizio sul teorema del Dini in 3 variabili

[Elia1999]

Salve, l'esercizio è il seguente :

Verificare che l'equazione \(\displaystyle g(x,y,z)=e^z-(x+y)sen(x+y)+ln(1+x+z)-1=0 \) definisce in un intorno di \(\displaystyle (0,0,0) \) una ed una sola funzione \(\displaystyle z=f(x,y) \).

Verifico le ipotesi del teorema del Dini :

1)\(\displaystyle D=\{1+x+z>0\} \)

2)\(\displaystyle g\in C^2(D) \)

3)\(\displaystyle g(0,0,0)=0 \)

4)\(\displaystyle \frac {dg} {dz} (0,0,0)=2\neq 0\)

Ok dopo aver verificato queste ipotesi come concludo l'esercizio ? Sugli degli appunti ho visto che bisogna utilizzare la formula del piano tangente. Devo fare così ?

[otta96]

Perché hai (giustamente) verificato le ipotesi del teorema del Dini? Per applicarlo magari? E che dice?

[Elia1999]

Che \(\displaystyle \exists U \subset R^3 \) e una funzione \(\displaystyle f:U\longrightarrow R \) tale che \(\displaystyle f(0,0)=0 \) e \(\displaystyle g(x,y,f(x))=0 \) , \(\displaystyle \forall x\in U \), inoltre :

\(\displaystyle \frac {df} {dxi} (x,y)=- \frac {\frac {dg} {dxi} (x,y,f(x,y))} {\frac {dg} {dy} (x,y,f(x,y))} \)

Ok ora siccome mi viene chiesto \(\displaystyle z=f(x,y) \) che devo fare ?

[otta96]

Che \(\displaystyle \exists U \subset R^3 \) e una funzione \(\displaystyle f:U\longrightarrow R \) tale che \(\displaystyle f(0,0)=0 \) e \(\displaystyle g(x,y,f(x))=0 \) , \(\displaystyle \forall x\in U \)

No, ti dice che $EEU\subseteqRR^2$ intorno di $(0,0)$, $f:U->RR$ tale che $g(x,y,f(x,y))=0AA(x,y)\inU$.

[Elia1999]

Si ma alla luce di questo non capisco cosa devo fare nella pratica

[otta96]

Niente perché hai dimostrato cosa voleva l'esercizio.