Ho qualche dubbio sulla seguente dimostrazione
siano $X,Y$ due spazi connessi per archi; dimostrare che
- lo spazio prodotto è connesso per archi
- $pi(XtimesY)congpi(X)timespi(Y)$
metto sotto spoiler la prima parte della dimostrazione, sulla quale sono parzialmente sicuro.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
1)se $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ sono due punti allora avremo gli archi $alpha:[0,1]->X$ e $beta:[0,1]->Y$ connettono, nell'ordine, i punti $x_1,x_2$ e $y_1,y_2$
il cammino $varphi(t)=(alpha(t),beta(t))$ è un arco che connette i punti $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ infatti è anche continua poichè le componenti lo sono
2)essendo connesso per archi è indifferente il punto scelto quindi non lo specifico, con $p_X,p_Y$ denoto le proiezioni, $alpha:=alpha(t)$, $beta:=beta(t)$ sono archi e $equiv$ la relazione di omotopia tra cammini
definisco $f(overline(alpha))=(overline(p_Xcircalpha),overline(p_Ycircalpha))$ con $f:pi(XtimesY)->pi(X)timesP(Y)$
è un omomorfismo di gruppi
$f(overline(alpha)*overline(beta))=f(overline(alpha*beta))=(overline(p_Xcircalpha*beta),overline(p_Ycircalpha*beta))=(overline(p_Xcircalpha)*overline(p_Xcircbeta),overline(p_Ycircalpha)*overline(p_Ycircbeta))=$
$=(overline(p_Xcircalpha),overline(p_Ycircalpha))*(overline(p_Xcircbeta),overline(p_Ycircbeta))$
la parte $fcircalpha*beta=fcircalpha*fcircbeta$ è motivata dal fatto che
la seconda invece dal fatto che il prodotto in un gruppo prodotto è definito in questo modo
è suriettiva
per questo basta notare che se $(overline(alpha_X),overline(alpha_Y)) in pi(X)timespi(Y)$ allora l'arco $alpha:=(alpha_X,alpha_Y)$ è un arco su $XtimesY$ per cui $p_X(alpha)=p_X(alpha_X,alpha_Y)=alpha_X$ e $p_Y(alpha)=alpha_Y$
è iniettiva
se $f(overline(alpha))=f(overline(beta))$ allora $p_Xcircalphaequivp_Xcircbeta$ e $p_Ycircalphaequivp_Ycircbeta$
per tanto se $F_X:[0,1]times[0,1]->X$ e $F_Y:[0,1]times[0,1]->Y$ sono, nell'ordine, le omotopie relative a ${0,1}$ allora
è un'omotopia relativa a ${0,1}$ tra $alpha,beta$
di fatto la continuità è data banalmente dalla continuità delle componenti
l'essere una omotopia relativa si dimostra allo stesso modo.
il cammino $varphi(t)=(alpha(t),beta(t))$ è un arco che connette i punti $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ infatti è anche continua poichè le componenti lo sono
2)essendo connesso per archi è indifferente il punto scelto quindi non lo specifico, con $p_X,p_Y$ denoto le proiezioni, $alpha:=alpha(t)$, $beta:=beta(t)$ sono archi e $equiv$ la relazione di omotopia tra cammini
definisco $f(overline(alpha))=(overline(p_Xcircalpha),overline(p_Ycircalpha))$ con $f:pi(XtimesY)->pi(X)timesP(Y)$
è un omomorfismo di gruppi
$f(overline(alpha)*overline(beta))=f(overline(alpha*beta))=(overline(p_Xcircalpha*beta),overline(p_Ycircalpha*beta))=(overline(p_Xcircalpha)*overline(p_Xcircbeta),overline(p_Ycircalpha)*overline(p_Ycircbeta))=$
$=(overline(p_Xcircalpha),overline(p_Ycircalpha))*(overline(p_Xcircbeta),overline(p_Ycircbeta))$
la parte $fcircalpha*beta=fcircalpha*fcircbeta$ è motivata dal fatto che
$fcircalpha*beta(t)={(f(alpha(2t)):=fcircalpha(2t), t in [0,1/2]),(f(beta(2t-1))=fcircbeta(2t-1), t in [1/2,1]) :}=fcircalpha*fcircbeta(t)$
la seconda invece dal fatto che il prodotto in un gruppo prodotto è definito in questo modo
è suriettiva
per questo basta notare che se $(overline(alpha_X),overline(alpha_Y)) in pi(X)timespi(Y)$ allora l'arco $alpha:=(alpha_X,alpha_Y)$ è un arco su $XtimesY$ per cui $p_X(alpha)=p_X(alpha_X,alpha_Y)=alpha_X$ e $p_Y(alpha)=alpha_Y$
è iniettiva
se $f(overline(alpha))=f(overline(beta))$ allora $p_Xcircalphaequivp_Xcircbeta$ e $p_Ycircalphaequivp_Ycircbeta$
per tanto se $F_X:[0,1]times[0,1]->X$ e $F_Y:[0,1]times[0,1]->Y$ sono, nell'ordine, le omotopie relative a ${0,1}$ allora
$F:[0,1]times[0,1]->XtimesY$ deinita come $F(s,t)=(F_X(s,t),F_Y(s,t))$
è un'omotopia relativa a ${0,1}$ tra $alpha,beta$
di fatto la continuità è data banalmente dalla continuità delle componenti
$F(s,0)=(F_X(s,0),F_Y(s,0))=(p_Xcircalpha,p_Ycircalpha)$
$F(s,1)=...=(p_Xcircbeta,p_Ycircbeta)$
$F(s,1)=...=(p_Xcircbeta,p_Ycircbeta)$
l'essere una omotopia relativa si dimostra allo stesso modo.
Sono perplesso per il fatto che possa essere
$alpha=(p_Xcircalpha,p_Ycircalpha)$
lo giustificherei considerando che se $Q in XtimesY$ allora esistono $x inX,y inY$ per cui $Q=(x,y)$ per cui $p_X(Q)=p_X(x,y)=x$ e idem per $y$, penso sia sufficiente.