Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda Jek » 19/11/2013, 22:43

Ciao a tutti; sto impazzendo con questo esercizio.
Il sistema costituito dal disco $D$ di raggio $r$ e dall'asta $OA$, mobile nel piano $Oxy$, è soggetto ai seguenti vincoli:
1) l'asta $OA$ ruota attorno al suo estremo $O$;
2) il disco $D$ rotola senza strisciare sull'asta $OA$ e rimane tangente all'asse $x$.
Immagine

Devo trovare, in funzione di $\theta$ e della sua derivata prima, la velocità angolare del disco e la sua velocità di strisciamento sull'asse delle $x$.

Qualcuno ha idea di come procedere?
Jek
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda Quinzio » 22/11/2013, 19:41

Intanto si inizia a scrivere qualche relazione tipo:
1) $\bar(MH)/ \bar(OH) = \tan\theta$
e
2) $\hat(HMC)-2\theta = \pi$
dove l'angolo $\hat(MHC)$ è la parte esterna che non vede il centro $O$.

Quindi immaginiamo che il disco non ruoti, ma trasli solamente al variare di $\theta$.
Il disco striscia in modo uguale sia in $C$ che in $M$.
Non è proprio vero al 100% ma per il momento diciamo così.
Calcoliamo al variare di $\theta$ la lunghezza $\bar(OH)$, usando la 1).

$\bar(MH)/ \tan\theta = \bar(OH) $

$v_H=(d\bar(OH))/(dt) =(d\bar(OC))/(dt) =-(\bar(MH))/(\sin^2(\theta)) \dot\theta$.

Ora, siccome il disco in $C$ non striscia, il disco deve ruotare in modo da rimanere aderente in $C$. E' chiaro che ogni "mancato strisciamento" in $C$ si riflette in uno strisciamento ulteriore in $H$. E siccome lo strisciamento in $C$ e in $H$ sarebbe lo stesso, se $C$ non striscia, $H$ raddoppia la velocità di strisciamento.

$v_H=-2(\bar(MH))/(\sin^2(\theta)) \dot\theta$

Inoltre c'è da tenere conto di un piccolo contributo allo strisciamento dovuto al fatto che il punto di tangenza in C, non rimane orientato sempre nello stesso punto, ma cambia con l'angolazione dell'asta $\bar(OC)$.
Per vedere meglio questo fenomeno bisogna immaginare le rette $\bar(OC)$ e $\bar(OH)$ non più unite in $O$, ma separate. Se l'asta $\bar(OC)$ ruota con velocità $2 \dot \theta$, rimanendo incollata in $C$, $H$ deve strisciare di velocità $ 2\bar(MH)\dot \theta$.

In definitiva, la velocità di strisciamento cercata dovrebbe essere:

$v_H=(2\bar(MH)-2(\bar(MH))/(\sin^2(\theta))) \dot\theta = -2(\bar(MH))/(\tan^2(\theta)) \dot\theta $

Si nota che per $\theta -> 0$, la velocità tende a infinito, e ciò ha senso siccome il disco viene "sparato" all'infinito.
Per $\theta -> \pi/2$, la velocità tende a zero, siccome le due aste tornano parallele e i punti $C$ e $H$ vanno a coincidere con l'origine.
Quinzio
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda Mito125 » 14/05/2019, 09:02

Buongiorno, riprendo questo esercizio (in meccanica razionale gli esercizi che girano sono sempre quelli). Io non ho ben capito la soluzione proposta da Quinzio. Leggendo capisco che è corretta ma il procedimento proposto non mi torna(dover pensare una cosa prima strisciante e poi non strisciante mi aggiunge molte difficoltà, perdonatemi).

Io so che in H non striscia, quindi posso dire che la velocità del punto H calcolata pensato come appartenente all'asta deve essere uguale alla velocità del punto H pensato come parte del disco. Per l'asta, la velocità del punto H è facile da ricavare, è un moto rotatorio intorno ad un punto fisso, riconoscendo i due triangoli isosceli noto $OH=OC=R cot\theta$, segue quindi la sua velocità:

$\omega_A \wedge (H-O)=2\dot{\theta} \hat{k}\wedgeRcot\theta\hat{t}=R\dot{\theta}cot\theta\hat{n}$ dove $\hat{t},\hat{n}$ sono le tangenti e le normali all'asta.

Penso al punto H adesso come parte del disco. Il disco avrà secondo me un moto rototraslatorio, quindi calcolo la velocità del suo centro C utile per poi applicare il teorema di Mozzi:

$x_C=OH=R cot\theta\Rightarrow\dot{x}_C=R \frac{\dot(\theta)(-sen^2\theta+cos^2\theta)}{sen^2\theta}=R\dot{\theta}\frac{cos2\theta}{sen^2\theta}\hat{i}$

Già qui mi suona male perchè la mia soluzione è proprio quella parte $\omega_D=\dot{\theta}\frac{cos2\theta}{sen^2\theta}\hat{k}$ ed io ancora manco di un pezzo per applicare Mozzi. Continuo quindi:

$v_{H_D}=R\dot{\theta}\frac{cos2\theta}{sen^2\theta}\hat{i}+\omega_D\wedge(H-C)=R\dot{\theta}\frac{cos2\theta}{sen^2\theta}\hat{i}+\omega_DR\hat{t}$

Qui sorgono i miei problemi. Basi diverse($\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ e $\hat{t},\hat{n},\hat{k}$) e difficoltà ad andare avanti. Come ragionamento penso sia corretto(il punto non striscia quindi la velocità è uguale considerando il punto parte di entrambi i corpi) ma i calcoli non mi saltano fuori. Grazie per l'aiuto.
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda professorkappa » 14/05/2019, 16:33

Mi pare che tu ti stia complicando inutilmente la vita.
Io ragionerei cosi:

Il vettore OH si puo scrivere come:

$vec(OH)=OCvectau-Rvecmu-Rvecj$

Scomponendo lungo $veci$ ottengo

$OH=OCcos2theta+Rsin2theta$ [1]

Per la simmetria, OH=OC e siccome il disco rotola senza strisciare sull'asta $OC=Rphi$ dove $phi$ e' l'angolo di rotazione del disco (positivo in senso antiorario). Usando queste 2 posizioni la [1] diventa

$OC(1-cos2theta)=Rsin2theta=Rphi$ da cui

$phi=(sin2theta)/(1-cos2theta)$ e quindi, per derivazione si ottiene $omega_D$

La velocita di strisciamento del punto H si ottiene per derivazione del vettore OH,

$vecv_M=(dOC)/(dt)vectau+OC*2dotthetavecmu+2Rdotthetavectau$

Per il calcolo del modulo basta notre che $vecv_M$ non puo che essere orizzontale. Quindi scomponendo lungo x

$v_M=(dOC)/(dt)cos2theta-OC*2dotthetasin2theta+2Rdotthetacos2theta$

Con le posizioni

$(dOC)/(dt)=Romega_D$ e
$OC=(Rsin2theta)/(1-cos2theta)$

si ottiene

$v_M=Romega_Dcos2theta-(Rsin2theta)/(1-cos2theta)*2dotthetasin2theta+2Rdotthetacos2theta$
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda Mito125 » 16/05/2019, 17:41

Grazie per la risposta, ma qualcosa non mi torna...
professorkappa ha scritto:$ OC(1-cos2theta)=Rsin2theta=Rphi $

Questa scritta così non l'ho proprio capita... Allora ho pensato che tu hai sostituito ad $OH=OC=R\phi$ e poi ad $OC=R\phi$ in modo da avere:
$R\phi=R\phicos2\theta+Rsin2\theta$
$\phi=\frac{sin2\theta}{1-cos2\theta}$ che è il tuo risultato ma non ho capito come hai fatto a trovarlo... Metti due volte la stessa cosa??? Solo perchè sono due triangoli isosceli???

Ulteriore problema. Se io derivo quella cosa tutto mi viene tranne che la soluzione proposta... Ho usato la regola di derivazione classica ma non sono stato capace a tirare fuori niente... Non ho provato la velocità di strisciamento perchè sono bloccato al primo quesito...

Ammiro tantissimo questa soluzione che non tira fuori teoremi, però mi piacerebbe capire se e come risolverla anche con il metodo proposto da me...

Grazie
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda professorkappa » 19/05/2019, 11:39

Mi pare che anche la mia sia errata, ma non trovo l'errore.
Per cui lo risolvo in altro modo (simile al tuo, spero ti aiuti di piu').

La velocita del punto H appartente al disco puo' essere considerata come la somma di 2 velocita'
(1) La velocita relativa di H rispetto al sistema mobile costituito dall'asta. Sappiamo dal testo che rispetto all'asta OC il disco si muove di moto di rotolamento puro, pertanto

$vecv_R=vecomega_D xxvec(CH)$.

Proiettando sul sistema fisso costituito dall'asse delle x, con semplici considerazioni geometriche, si trova che

$vecv_R=omega_D*CHcosthetaveci+omega_D*CHsinthetavecj$

(2) A questa velocita va sommata la velocita del disco come se questo fosse solidale e fermo rispetto all'asta OC (velocita' di trascinamento) ovvero, come dici tu, la velocita' di H pensato appartenente all'asta OC. Risulta

$vecv_T=vecomega_Axxvec(OH)$, Di nuovo con semplici considerazioni geometriche, si proietta sul sistema fisso e si trova:

$vecv_T=omega_A*OHvecj$

Qundi la velocita' del punto H e'

$vecv_H=vecv_R+vecv_T=omega_D*CHcosthetaveci+omega_D*CHsinthetavecj+omega_A*OHvecj$ che riorganizzata, da':


$vecv_H=omega_D*CHcosthetaveci+(omega_D*CHsintheta+omega_A*OH)vecj$ [1]

Ora, la velocita' del punto H e' sempre e solo orizzontale per garantire l'aderenza con l'asse delle x, quindi il secondo termine deve essere nullo:

$omega_D*CHsintheta+omega_A*OH=0$

Ma si vede subito che $2OHsintheta=CH$ e dunque per sostituzione nell'ultima relazione

$omega_D*2OHsin^2theta+omega_A*OH=0$ da cui


$omega_D=-omega_A/(*2sin^2theta)$

ed essendo $omega_A=2dottheta$ si arriva a determinare la velocita angolare del disco per assicurare la tangenza con l'asse orizzontale

$omega_D=-(dottheta)/(sin^2theta)$

il che risolve il primo quesito.

Passiamo ora a determinare la velocita di H, usando la [1]. Risulta subito che

$v_H=omega_D*CHcostheta=-(dotthetaCHcostheta)/(sin^2theta)$ che ha un'unica incognita, CH.

Ma $CH=2Rcostheta$

Quindi

$v_H=-(2Rdotthetacos^2theta)/(sin^2theta)=-(omega_ARcos^2theta)/(sin^2theta)=-omega_AR/tan^2theta$

Anche a me la soluzione di Quinzio e' un po' arzigogolata con quelle supposizioni di strsciamento e non strisciamento, ma la soluzione sembra corretta.
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda Mito125 » 19/05/2019, 18:59

Allora anche questa soluzione proposta presenta qualche errore... Io metto la soluzione trovata, che riporta la soluzione anche indicata nell'esercizio.

$M=(Rcot\theta,R),C=(Rcot\thetacos2\theta,Rcot\thetasen2\theta)$
$(C-O)=Rcot\thetacos2\theta \hat{i}+Rcot\thetasen2\theta\hat{j}$
$(C-M)=Rcot\theta(cos2\theta-1)\hat{i}+R(cot\thetasen2\theta-1)\hat{j}$
$v_{C''}=v_M+\omega_D\wedge(C-M)=v_{C'}=\omega_{OA}\wedge(C-O)$
$v_M=-\frac{R\dot\theta}{sen^2\theta}\hat{i},\omega_D=\omega_D\hat{k}$
$1)\omega_{OA}\wedge(C-O)=2\dot\thetaRcot\thetacos2\theta\hat{j}-2\dot\thetaRcot\thetasen2\theta\hat{i}$
$2)v_M+\omega_D\wedge(C-M)=v_M+\omega_DRcot\theta(cos2\theta-1)\hat{j}-\omega_DR(cot\thetasen2\theta-1)\hat{i}$

E' un sistema, una sola incognita ma due equazioni(mi suona strano), quindi prendo solo quelle in $j$:
$2\dot\thetacos2\theta=\omega_D(cos2\theta-1)$
$\omega_D=\frac{2\dot\thetacos2\theta}{(cos2\theta-1)}=\frac{2\dot\thetacos2\theta}{-2sen^2\theta}=-\frac{cos2\theta}{sen^2\theta}\dot\theta$

Tutto ciò ritorna alla soluzione indicata... Adesso qual è la forma corretta???
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda professorkappa » 19/05/2019, 23:39

Non ti seguo piu' ....

Mito125 ha scritto:Allora anche questa soluzione proposta presenta qualche errore

Quale soluzione proposta?

Mito125 ha scritto:... Io metto la soluzione trovata
Trovata da chi, da te, da me, da Quinzio....?

Mito125 ha scritto: che riporta la soluzione anche indicata nell'esercizio.

Chi lo riporta? Perdonami, ma quanto hai scritto e' molto confuso

Mito125 ha scritto:$v_M=-\frac{R\dot\theta}{sen^2\theta}\hat{i},\omega_D=\omega_D\hat{k}$

Questa da dove arriva?

Mito125 ha scritto:
Tutto ciò ritorna alla soluzione indicata... Adesso qual è la forma corretta???


Insomma qual e' la soluzione del testo per $omega_D$ e $v_H$
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda Mito125 » 20/05/2019, 05:29

Mito125 ha scritto:la mia soluzione è proprio quella parte $ \omega_D=\dot{\theta}\frac{cos2\theta}{sen^2\theta}\hat{k} $


Questa è la soluzione riportata nell'esercizio.

professorkappa ha scritto:
Mito125 ha scritto:Allora anche questa soluzione proposta presenta qualche errore

Quale soluzione proposta?


La tua ultima soluzione, scusami se sono un po' disordinato.

professorkappa ha scritto:
Mito125 ha scritto:$ v_M=-\frac{R\dot\theta}{sen^2\theta}\hat{i},\omega_D=\omega_D\hat{k} $

Questa da dove arriva?


Io trovo $v_M$ derivando $M$, dovrei fare la derivata di $M-O$ ma tanto non cambierebbe niente visto come abbiamo preso il sistema di riferimento. $\omega_D$ invece è la mia incognita, ho messo il versore per poter poi svolgere i prodotti vettoriali.

Spero sia più comprensibile ora con questi nuovi dati.
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Re: Esercizio Meccanica Razionale

Messaggioda professorkappa » 20/05/2019, 19:00

La soluzione proposta dal testo non mi convince per nulla.
Nel sistema di riferimento mobile ($xi,eta$), il disco si muove di puro rotolamento.

Il che significa, che in questo sistema di riferimento la velocita' del centro e' sempre parallela all'asta

$dotxi=Romega_D$.

Ma
$xi=Rcostheta/sintheta$. Derivando

$dotxi=-Rdottheta/sin^2theta=Romega_D$ da cui deve essere $omega_D=-dottheta/sin^2theta$

L'asse x forma, per ovvie ragioni, sempre un angolo $2theta$, altrimenti non ci sarebbe aderenza.
Quindi l'asta si muove di velocita' angolare $omega_A=2dottheta$.



Pertanto

$omega_D=-omega_A/(2sin^2theta)$
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