esercizio di probabilità

Messaggioda federica06 » 20/05/2019, 12:00

Due v.a. X e Y sono indipendenti e distribuite secondo densità esponenziali pX(s) = 1/(λ)e−s/λ, pY (s) = 1/λe−s/λ con s > 0 e λ > 0. Si considerino le v.a. U = X + Y e V = X/(X + Y).
1. 6/30 Dopo aver determinato i valori assunti da U e V , dimostrare che sono v.a. indipendenti.
2. 4/30 Calcolare media, moda e varianza sia di U che di V .
federica06
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Re: esercizio di probabilità

Messaggioda tommik » 20/05/2019, 13:50

Dunque federica, ti ho approvato il messaggio anche se in palese violazione di alcune regole fondamentali della Community

1) nel tuo post non si vede alcun tentativo di soluzione

2) le formule vanno scritte con l'apposito compilatore

3) hai inserito due messaggi uguali (uno l'ho disapprovato)

Ad ogni modo, essendo il tuo primo messaggio, ecco come risolvere il tutto


Prima di tutto sai che la distribuzione congiunta di $X$ e $Y$ è questa:

$f_(XY)(x,y)=theta^2e^(-theta(x+y))$

Inoltre, per la proprietà di indipendenza delle due esponenziali, sai anche che la distribuzione marginale di $U=X+Y$ è una $"Gamma"(2,theta)$ ovvero

$f_U(u)=theta^2 u e^(-u theta)$

Osservi subito che $U in (0;+oo)$ mentre $V in (0;1]$

utilizzi il metodo che vuoi e, con semplici passaggi, trovi che la distribuzione congiunta di $(U,V)$ è questa


$f_(UV)(u,v)=theta^2ue^(-theta u)*1=f_U(u)f_V(v)$

ovvero la congiunta è il prodotto di due densità indipendenti: una $"Gamma"(2,theta)$ e una uniforme $U(0;1]$. Ciò dimostra quanto richiesto

fine....gli indicatori richiesti di tali distribuzioni ti dovrebbero essere noti e comunque facilmente calcolabili


NOTA BENE:

Nei calcoli che ho fatto ho posto $theta=1/lambda$ perché mi trovo meglio con questa parametrizzazione. Tu puoi fare come ti trovi più comoda
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
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