Legame tra Dirac, Heaviside e f.indicatrice

Messaggioda mobley » 20/05/2019, 12:59

Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sul tema.

Io ho la seguente quantità: $\int_(0)^(+\infty)\partial/(\partialK)[(S_T-K)^+]P(S_T,T;S_0)dS_T$, con $P$ densità di transizione. Ora, fonte Wikipedia, la funzione di Heaviside è una funzione discontinua che ha valore $0$ per argomenti negativi e $1$ per argomenti positivi. Dunque $ \Theta(x)=1$ se $S_T>=K$ e $0$ altrimenti. Sempre fonte Wikipedia, la derivata della funzione di Heaviside è la delta di Dirac. Quindi $ \partial/(\partialK) \Theta(x)^+=\delta(S_T-K) $, dove da quanto ho capito (applicato al mio caso) $delta=1$ se $S_T>=K$ e $0$ altrimenti. Allora quello che mi chiedo è: la delta di Dirac svolge la medesima funzione della funzione indicatrice (ovvero $(S_T-K)mathbb(1)_{{S_T>=K}}$)?
mobley
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 298 di 1246
Iscritto il: 16/06/2017, 17:23

Re: Legame tra Dirac, Heaviside e f.indicatrice

Messaggioda gugo82 » 20/05/2019, 13:27

No.

A parte il fatto che non vedo funzioni di Heaviside nel tuo integrale, ma solo una troncatura positiva, la funzione di Heaviside ha derivata classica q.o. nulla e derivata distribuzionale coincidente con la $delta$ di Dirac.
La distribuzione $delta$ è definita come il funzionale lineare che ad ogni funzione $phi$ dello spazio test scelto (usualmente $C_c^oo$) associa il valore della funzione test in $0$, cioè $phi(0)$. Tale distribuzione non è regolare, nel senso che non esiste nessuna funzione “sensata” $d$ tale che $int_(-oo)^(+oo) d(x) phi(x) text(d) x = phi(0)$ per ogni test $phi$; ciò nonostante, chi fa applicazioni ritiene comodo pensare alla $delta$ come una funzione, la quale assume valore $0$ ovunque, tranne che in $0$ ove prende valore $+oo$, ed ha integrale uguale ad $1$ su ogni intervallo che contiene $0$ come punto interno.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 21490 di 44916
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Legame tra Dirac, Heaviside e f.indicatrice

Messaggioda mobley » 20/05/2019, 13:50

gugo82 ha scritto:non vedo funzioni di Heaviside nel tuo integrale, ma solo una troncatura positiva


Grazie mille per la risposta gugo82. Il docente ci ha detto (cito dalla sbobinatura) che "si è lasciata la parte positiva perchè si dimostra che, data una funzione del tipo $x-K$ parte positiva, la derivata rispetto ad $x$ di questa quantità è la funzione di Heaviside". Quindi tra gli appunti mi trovo scritto che $\partial/(\partialK)[(S_T-K)^+]=\Theta(x)$ con $\Theta(x):=\partial/(\partialx)x^+$, da cui $\int_(0)^(+\infty)\Theta(S_T-K)P(S_T,T;S_0)dS_T$.

Successivamente, andando a calcolare la derivata seconda, scrive che:
$\partial/(\partialK)[\int_(0)^(+\infty)\Theta(S_T-K)P(S_T,T;S_0)dS_T]=\int_(0)^(+\infty)\delta(S_T-K)P(S_T,T;S_0)dS_T=P(S_T,T;S_0)$

Inoltre, la mia domanda circa l'eventualità che la delta di Dirac svolgesse la stessa funzione della funzione indicatrice deriva da quanto scritto sotto:


Immagine
mobley
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 299 di 1246
Iscritto il: 16/06/2017, 17:23

Re: Legame tra Dirac, Heaviside e f.indicatrice

Messaggioda gugo82 » 20/05/2019, 14:09

Eliminiamo gli orpelli e semplifichiamo la notazione.
Per definizione:
\[
\begin{split}
x^+ & := \begin{cases} x &\text{, se } x \geq 0 \\ 0 &\text{, se } x <0 \end{cases} \\
\Theta (x) &:= \begin{cases} 1 &\text{, se } x \geq 0 \\ 0 &\text{, se } x < 0 \end{cases}
\end{split}
\]
e da ciò segue che q.o. (e dunque anche a livello distribuzionale) hai $(text(d))/(text(d) x) [ x^+] = Theta (x)$; inoltre, dato che $(text(d))/(text(d) x) Theta (x) = delta (x)$ a livello distribuzionale, è chiaro che puoi scrivere $(text(d)^2)/(text(d) x^2) [ x^+] = delta(x)$ sempre a livello distribuzionale.

Inoltre, osserva che, per definizione, hai $Theta = mathbf(1)_(\{x >= 0\})$, cosicché il gradino di Heaviside è una particolare funzione indicatrice.

Quello che non mi torna del tuo post è che stai derivando rispetto al parametro di troncatura $K$ e non rispetto alla variabile troncata $S$… Quindi devi fare il conto con un po’ di attenzione (probabilmente dovrai cambiare qualche segno).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 21491 di 44916
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Legame tra Dirac, Heaviside e f.indicatrice

Messaggioda mobley » 20/05/2019, 14:11

Chiarissimo. Grazie mille gugo!
mobley
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 300 di 1246
Iscritto il: 16/06/2017, 17:23

Re: Legame tra Dirac, Heaviside e f.indicatrice

Messaggioda gugo82 » 20/05/2019, 14:12

Prego.

Osserva che ho aggiunto due righe al mio post precedente.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 21492 di 44916
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Legame tra Dirac, Heaviside e f.indicatrice

Messaggioda mobley » 20/05/2019, 14:18

Si, infatti stavo per risponderti. In effetti la definizione impone la derivata rispetto ad $x$ e non a $K$... Il problema è che non viene fatto alcun cambio di segno nella dimostrazione…

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Anche perchè la dimostrazione riguarda un call europea con payoff $S_T-K$. Se cambiassi di segno cambierebbe il segno dell'opzione (che diverrebbe così una put lunga), oltre all'inversione degli estremi di integrazione.
mobley
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 301 di 1246
Iscritto il: 16/06/2017, 17:23


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite