esercizio di probabilità:fattorizzazione probabilità congiunta

[tommik]

salve ragazzi,dovrei calcolare la fattorizzazione della probabilità congiunta, dati:

$ pX(s) = 1/(λ)e^(−s/λ), pY (s) = 1/(λ)e^(−s/λ )$ e s > 0 e λ > 0.

inoltre ho: $ x=uv, y=u-uv $ .
Io ho impostato l'esercizio cosi:

$ pU,V (u,v )≡ pX,Y (x(u,v),y(u,v))*1 /|J| $
con $ |J| $ modulo del determinante = $ 1/u $ .
Da qui non so più andare avanti.

[tommik]

Il determinante jacobiano può essere, in valore assoluto, $1/u$ ma anche $u$, dipende come viene calcolato. Secondo me viene più comodo farlo così

$[ ( (partialx)/(partialu) , (partialx)/(partialv) ),( (partialy)/(partialu) , (partialy)/(partialv) ) ] =-u=u$ e poi moltiplicarlo per la congiunta. Alcuni testi riportano una formula differente; calcolano il determinante della seguente matrice


$[ ( (partialu)/(partialx) , (partialu)/(partialy) ),( (partialv)/(partialx) , (partialv)/(partialy) ) ]=...=1/u$ e poi dividono la congiunta per tale valore....ma il riultato è il medesimo, in virtù del teorema dell'inversione locale.

Un'altra cosa a cui devi stare attenta è che hai definito $f_(X)(s)$, $f_(Y)(s)$...non è che sia sbagliato ma devi considerare che le due variabili sono indipendenti e quindi, secondo me, conviene scrivere $f_(X)(x)$, $f_(Y)(y)$

A questo punto sostituisci nella distribuzione congiunta $f_(XY)(x,y)$ e ti devi trovare con

$f_(XY)(x,y)=1/lambda^2e^(-(x+y)/lambda)$

ottenendo

$f_(UV)(u,v)=1/lambda^2 u e^(-u/lambda)$


....potevi anche continuare sul precedente topic

(fammi sapere se hai capito. Il "trucco" è capire che quella distribuzione è una gamma, ma lo sai già dal fatto che $U$ è la somma di due esponenziali indipendenti. L'altra è definita su $(0;1]$ e quindi è facile intuire che la congiunta è fatta così

$f_(UV)(u,v)=f_(U)(u)xx1$

ovvero è il prodotto di due densità....le due variabili sono indipendenti.

[federica06]

grazie per l'aiuto, vorrei porre un'ultima domanda:
come calcolo la media,moda e varianza di $ U=X+Y e V=X/(X+Y) $ ?