Meccanica Lagrangiana

[Keyzan]

Ciao a tutti ragazzi, propongo questo esercizio che non sono riuscito a risolvere:



Mi blocco subito quando devo andare a trovare le coordinate generalizzate. Ho provato a risolvere e mi escono del tipo:
$ { ( x=x_1 ),( y=0 ):} $
per quanto riguarda il triangolo, mentre considerando anche queste coordinate, per la massa piccola che scorre sull'ipotenusa:
$ { ( x=x_1+mgcostheta ),( y=y_2-mgsentheta ):} $
Considerando queste ultime coordinate dovrei poi andare a calcolare la Lagrangiana. Secondo voi stanno bene?
Purtroppo il problema per me con questi esercizi è sempre riuscire a trovare le coordinate generalizzate. Grazie in anticipo!

[professorkappa]

Direi che sei fuori. Le coordinate generalizzate del secondo sistema sono un misto di coordinate e forze....
Le coordinate generalizzate che sceglierei sono

1) Le coordinate della base dell'ipotenusa del triangolo, che ovviamente sono
$(x_T,0)$
2) La distanza del blocco dall'inizio ipotenusa (che chiamero $l$.

Quindi il blocco nel sistema fisso si puo' descrivere con

$x_B=x_T+lcostheta$
$y_B=lsintheta$

A questo punto puoi scrivere la lagrangiana del sistema.

[Keyzan]

Sì ho sbagliato di brutto. Allora, considerando le coordinate generali:
$ { ( x_B=x_T+lcostheta ),( y_B=lsentheta ):} $ e considerando anche $l$ dipendente da $t$ si ha:
$ { ( dot(x_B)=dot(x_T)+dot(l)costheta -lsenthetadot(theta) ),( dot(y_B)=dot(l)sentheta+lcosthetadot(theta) ):} $
la Lagrangiana dovrebbe essere:
$ L= 1/2(dot(x)_T^2+dot(l) ^2+l^2dot(theta)^2+2dot(l)costhetadot(x)_T-2lsenthetadot(x)_Tdot(theta))-mglsentheta $
Dovrei considerare $l$ dipendente dal tempo perchè la massa si sposta nel tempo cambiando $l$, giusto?

[professorkappa]

Si ma $theta$ non cambia mica, eh?