Somma di intervallini.

[galles90]

Buonasera,
dovrei dimostrare una cosa abbastanza ovvia, ma che purtroppo non riesco.
Sia $I$ un intervallo limitato, considero due suddivisioni $D, D'$ di $I$, con $D'$ più fina di $D$.

Considero l'unione di tutti dei sotto intervalli di $I$ relativi a $D$, cioè

$P=bigcup_(k=1)^N I_k$

dove $P$ si intende il plurintervallo.
Invece in modo analogo, si definisce la suddivisione il plurintervallo relativo a $D'$, cioè

$P'=bigcup_(k=1)^(N^') I'_k.$

La somma è data da

$m(P)=sum_(k=1)^N m(I_k).$

Quindi dovrei far vedere che

$m(P)=sum_(k=1)^N m(I_k)=sum_(k=1)^(N') m(I'_k)=m(P').$

Non saprei da dove cominciare, ho provato ad usare la seguente relazione (ahimè ancora non l'ho dimostrata) inerente alla somma dei plurintervalli, cioè,

$m(I_1 cup I_2)=m(I_1)+m(I_2)-m(I_1 cap I_2)$

a prescindere dal fatto che non sono arrivato a conlusioni, mi sembra troppa laboriosa, o sbaglio a fare i calcoli, oppure, deve andare cosi

Ciao.

[gugo82]

Scusa, ma se $I sub RR$ è un intervallo limitato, allora $m(P) = m(I) = text(sup) I - text(inf) I$.


P.S.: Si dice “fine”, non “fina”.

[galles90]

Scusa, ma se $I sub RR$ è un intervallo limitato, allora $m(P) = m(I) = text(sup) I - text(inf) I$.

Non escludo il fatto che la dimostrazione che riporto,sia sbagliata, ma la mia l'idea di base è questa, cioè:
Sia $D$ una suddivisione di $I$, e sia $D'$ un'altra suddivisione di $I$, suppongo che per ogni intervallino della suddivisione $D'$, sia del tipo $I'_k=I_k/H$.

$m(P')=sum_(k=1)^(N')I'_k=sum_(k=1)^(HN)I'_k=H(sum_(k=1)^NI'_k)=H/H(sum_(k=1)^N I_k)=m(P)$.

E' sbagliata ?

P.S.: Si dice “fine”, non “fina”.

oramai sono andato

[gugo82]

Lavora su un esempio, piuttosto di metterti in casi particolari in cui introduci ipotesi di troppo.

[galles90]

Sia $I sub RR$ intervallo limitato,inoltre, si ha per definizione che la misura di $I$

$m(I)=b-a$.

Sia $D$ suddivisione di $I$ tale che $I= I_1 cup I_2$, la suddivisione $D$ divide l'intervallo in due parti uguali, quindi, sia $c$ il punto intermedio, allora:

$sum_(k=1)^(2) m(I_k)=m(I_1)+m(I_2)=(c-a)+(b-c)=b-a=m(I).$

Sia ora $D'$ una suddivisione piu fitta rispetto a $D$, ad esempio tipo $I=I'_1 cup I'_2 cup I'_3 cup I'_4$,inoltre $I_1=I'_1 cup I'_2.$
In questo caso si ha

$sum_(k=1)^4 m(I'_k)=sum_(k=1)^2 m(I'_k)+m(I'_(k+1))=sum_(k=1)^2 m(I_k)=m(I)$

Fin quì bene ?

[gugo82]

Dipende… Definisci “più fitta” (o “più fine”, che dir tu voglia).

Inoltre, chi sono $a$ e $b$?

[galles90]

Dipende… Definisci “più fitta” (o “più fine”, che dir tu voglia).

Per suddivisione $D'$ più fitta rispetto alla suddivisione $D$, intendo dire: $D subset D'$ cioè $D'$ contiene almeno un punto in più rispetto a $D$, per punto intendo, un generico punto $x_i in D'$.

Inoltre, chi sono $a$ e $b$?

Sono l'estremo superiore e inferiore di $I$

[galles90]

Buongiorno gugo82

Comunque, rileggendo la definizione, mi sono accorto che i sottointervalli $I_k$ non hanno punti interni in comune, cioè

$I_k cap I_(k+1)= \emptyset.$

Inoltre dal momento che vale questa relazione

$m(I_1)+m(I_2)=m(I_1 cup I_2)+m(I_1 cap I_2)$

allora in particolare risulta

$m(I_1)+m(I_2)=m(I_1 cup I_2).$

Riprendendo il caso in esame, potrei considerare una suddivisione $D'$ piu fitta rispetto a $D$, cioè $D'$ costituita da $N'$ intervallini e $D$ costituita da $N$ intervallini, con $N'>N$, dove la differenza è data $Q=N'-N$.

Per semplicità, presi due intervellini relativi a $D'$ si abbia $I'_1 cup I'_2 = I_1$, quindi

$sum_(k=1)^(N')m(I'_k)=sum_(k=1)^(N) m_1(I'_k)+m_2(I'_(k+1))+...+m_(Q-1)(I'_(k+Q-1))+m_Q(I'_(k+Q))=...$

l'ho spezzata giusto per essere più chiaro

$...=sum_(k=1)^N m(I'_k cup I'_(k+1) cup ... cupI'_(k+Q-1) cupI'_(k+Q))=sum_(k=1)^Nm(I_k).$

[gugo82]

Immagino che una suddivisione $D$ di $I=[a,b]$ sia un insieme finito ed ordinato di punti di $I$ che contiene almeno i due estremi $a$ e $b$, ossia un insieme del tipo $D:=\{ a=x_0 < x_1 < \cdots <x_N < x_{N+1} = b \} sub [a,b]$ (con $N in NN$).

Ora, se questo è il setting, non hai nulla da dimostrare: infatti per ogni suddivisione $D$, la somma delle ampiezze degli intervalli i determinati dai punti di $D$ uguaglia l’ampiezza dell’intervallo $[a,b]$; dunque la relazione di finezza non c’entra un tubo.

Sei sicuro che ciò di cui parliamo sia proprio ciò che ti serve dimostrare?

[galles90]

Sei sicuro che ciò di cui parliamo sia proprio ciò che ti serve dimostrare?

Pag. 101 della dispensa.
https://www.docenti.unina.it/webdocenti-be/allegati/materiale-didattico/34075453