Problema di Cauchy e barriera inferiore.

da **3m0o** » 13/05/2019, 17:37

Siano $ I,E \subset \mathbb{R}^n $ degli intervalli aperti, $ f \in C^0 (I \times E, \mathbb{R} ) $ e $ (t_0,u_0 ) \in I \times E $.
Consideriamo il problema di Cauchy seguente
\[(\bigstar )= \left\{\begin{matrix}
u'(t) & = &f(t,u(t)), & t \in I \\
u(t_0) & = & u_0 &
\end{matrix}\right. \]

Siano $ (\tilde{J},\varphi) $ una barriera inferiore di $ (\bigstar) $ e $ (J,u) $ una soluzione massimale di $ (\bigstar) $. Dimostrare che $ \forall t \in J \cap \tilde{J} \cap [t_0,\infty) $ risulta $ \varphi (t) \leq u(t) $. E che questa disuguaglianza è stretta se la barriera è forte.

Io ho pensato a questo:
Poiché $ (\tilde{J},\varphi) $ è una barriera inferiore, per definizione abbiamo che $ \varphi \in C^1 (\tilde{J}, E) $ e $ \tilde{J} \subset I $ un aperto contenente $ t_0 $. Inoltre $ \varphi(t_0) = u_0 $ e $ \forall t \in \tilde{J} $ risulta $ \varphi'(t) \leq f(t,\varphi(t)) $.
Siccome $ (J,u) $ è una soluzione massimale abbiamo che non esistono soluzioni locali che la prolungano (a dire il vero mi è un po' oscura questa definizione). Pertanto se in $ J \subset K $ esiste una soluzione $ (K,w) $ allora $ w \mid_{J} $ differisce da $ u $ in almeno un punto (o almeno così l'ho interpretata io). Inoltre $ t_0 \in J $
Pertanto abbiamo che $ J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) $ è ben definito e non vuoto, inoltre $ J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) \subset J $ risulta $ u'(t) = f(t,u(t)) $, $ \forall t \in J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty ) $ e
$ J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) \subset \tilde{J} $ risulta $ \varphi'(t) \leq f(t,\varphi(t)) $, $ \forall t \in J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty ) $.
Penso che sia qui che devo utilizzare il fatto che $ (J,u) $ sia massimale per dimostrare che
$ \varphi'(t) \leq f(t,\varphi(t)) \leq f(t,u(t)) = u'(t) $ per ogni $t \in J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) $

e implicherebbe direttamente (integrando per rapporto a $ t $ ), che $ \varphi(t) \leq u(t) $ per ogni $ t \in J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) $.
Inoltre mi sembra molto strano che la disuguaglianza è stretta se la barriera inferiore è forte. Difatti abbiamo che $ \varphi(t_0 )= u_0 = u(t_0) $ e $ t_0 \in J $, $ t_0 \in \tilde{J} $ dunque forzatamente $ t_0 \in J \cap \tilde{J} \cap [t_0,\infty) $... ?? Qualquno ha suggerimenti? E qualquno può spiegarmi perché $ \varphi(t) < u(t) $ per ogni $ J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) $ e dunque il motivo per cui $ \varphi(t_0) = u_ 0 < u_0 = u(t_0 ) $ che mi sembra paradossale?

da **3m0o** » 13/05/2019, 21:25

Il punto 2) richiede questo
Sia $ (t_0, u_0) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R} $ consideriamo il problema di Cauchy seguente:
\[ \left\{\begin{matrix}
u'(t)&=&t+u^2(t),&t \in \mathbb{R}\\
u(t_0)&=&u_0&
\end{matrix}\right.\]
a) Dimostra che per tutti gli $ \gamma \in ]0,\sqrt{t_0}[ $ la soluzione $ u $ del problema di Cauchy soddisfa
\[ \gamma \tan(\gamma(t-t_0)) + u_0 < u , \forall t \in ] t_0, t_0 + \frac{\pi}{2\gamma}[ \]

Indicazione $ \forall (t,y) \in ]\gamma^2 , \infty [ \times \mathbb{R}, \gamma^2 + y^2 < f(t,y) $

La prima cosa che dovrei fare sarebbe dimostrare che la soluzione $ u $ è massimale (ma non so come fare), poi ho pensato che
ponendo $ y(t) := \gamma \tan(\gamma(t-t_0)) + u_0 $ abbiamo che $ y(t_0) = u_0 $ e abbiamo che
$ y'(t) = \frac{\gamma^2}{\cos^2(\gamma(t-t_0)) } $ pertanto se riesco a dimostrare che $ y'(t) \leq \gamma^2 + y(t) $ sono a posto e posso usare il punto 1. (esercizio del commento precedente).

Supponendo $ u_0 \geq 0 $ e $ \forall t \in ]t_0,\infty[ $ abbiamo che
\[ y'(t) = \frac{\gamma^2}{\cos^2(\gamma(t-t_0)) } = \gamma^2 + \gamma^2 \frac{\sin^2((\gamma(t-t_0))}{\cos^2(\gamma(t-t_0)) } < \gamma^2 + y^2(t) \]

Supponendo $ u_0 < 0 $
\[ y'(t) = \frac{\gamma^2}{\cos^2(\gamma(t-t_0)) } =\gamma^2 + (\gamma\tan(\gamma(t-t_0)) )^2 \]
E siccome $ u_0 < 0 $ abbiamo che $ \begin{vmatrix} (\gamma\tan(\gamma(t-t_0)) \end{vmatrix} > \begin{vmatrix} (\gamma\tan(\gamma(t-t_0)) +u_0 \end{vmatrix} $ pertanto risulta che
\[ \gamma^2 + y^2(t) < y' (t) \]
E non so come dimostrare che $ y'(t) < f(t,y) $ senza passare da $ \gamma^2 + y^2(t) $.

Probabilmente sbaglio qualcosa, anche perché dimostrando l'indicazione, con $ \gamma \in (0,\sqrt{t_0} ) $
$ \gamma^2 + y^2(t) \leq t_0 + y^2(t) < t + y^2(t) $, per ogni $ t \in ]t_0, \infty[ $.

E potrei concludere che
Siccome $ y(t) $ è una barriera inferiore forte per ogni $ t \in ] t_0, t_0 + \frac{\pi}{2\gamma}[ $ e in più (probabilmente) $u $ è una soluzione massimale su questo insieme allora per il punto 1. risulta che $ y(t) < u(t) $

da **3m0o** » 20/05/2019, 20:48

Oggi hanno corretto l'enunciato:
1) $ f $ è localmente lipschitz si $ I \times E $ e $\forall t \in J \cap \tilde{J} \cap (t_0,+\infty) $ risulta $ \varphi(t) \leq u(t) $.

Poiché $ (\tilde{J},\varphi) $ è una barriera inferiore, per definizione abbiamo che $ \varphi \in C^1 (\tilde{J}, E) $ e $ \tilde{J} \subset I $ un aperto contenente $ t_0 $. Inoltre $ \varphi(t_0) = u_0 $ e $ \forall t \in \tilde{J} $ risulta $ \varphi'(t) \leq f(t,\varphi(t)) $.
Siccome $ (J,u) $ è una soluzione massimale abbiamo che non esistono soluzioni locali che la prolungano.
Inoltre abbiamo che $ J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) $ è ben definito e non vuoto, inoltre $ J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) \subset J $ risulta $ u'(t) = f(t,u(t)) $, $ \forall t \in J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty ) $ e
$ J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty) \subset \tilde{J} $ risulta $ \varphi'(t) \leq f(t,\varphi(t)) $, $ \forall t \in J \cap \tilde{J} \cap [t_0, \infty ) $.

Abbiamo che $ \varphi(t) \leq \varphi(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s,\varphi(s))ds $ e $ u(t) =u(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s,u(s))ds $
E pertanto $ u(t) - \varphi(t) = u(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s,u(s))ds - \varphi(t_0) - \int_{t_0}^{t}\varphi'(s)ds =\int_{t_0}^{t} f(s,u(s))ds- \int_{t_0}^{t} \varphi'(s)ds $
$ u(t) - \varphi(t) \geq \int_{t_0}^{t} f(s,u(s)) - f(s,\varphi(s))ds $
Inoltre siccome $ f(t,x) $ è localmente lipschitz per rapporto alla seconda variabile su $ U:= J \cap \tilde{J} \cap [t_0,+ \infty) $ e $ \forall x , y \in C^{1}(U,\mathbb{R}^n) $ risulta che esiste $ L>0 $ tale che
$ \begin{Vmatrix} f(t,x(t))-f(t,y(t)) \end{Vmatrix} \leq L \begin{Vmatrix} x(t)- y(t) \end{Vmatrix} $, $\forall t \in U $.

Ma da qui non so come continuare, pensavo di dimostrare che $ u(t) - \varphi(t) \geq 0 $

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