rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dRic » 21/05/2019, 01:57

Ciao, in un libro ho trovato il seguente risultato che non riesco a spiegarmi.

Si consideri una lastra con spessore $a$ centrata nell'origine di modo da avere uno spessore di $a/2$ a sinistra e a destra dello zero. Consideriamo di avere una sorgente piana (per esempio di calore) nel piano di simmetria passante per l'origine (una sorta di configurazione a sandwich). Considerando solo la dimensione $x$ (quella dello spessore) e immaginiamo di risolvere un problema di diffusione con reazione per una grandezza $f$. In particolare viene scritta l'equazione :
$$\Delta f +kf= S\delta(\mathbf x - \mathbf x_0)$$
dove $S$ è la costante che dà l'intensità della sorgente. In una dimensione
$$\frac {\partial^2 f}{\partial x^2} +kf= S\delta(x-x_0)$$
Ecco ora nel libro che stavo leggendo dice che la funzione $f$ sarà del tipo somma di coseni (credo dovrebbe essere una serie di Fourier, ma date le condizioni al contorno e per ragioni di simmetria si semplificavano tutti i termini contenenti il seno). A questo punto per trovare i coefficienti dice che
$$S\delta(x-x_0) = \frac {2S}{a} \left( \sum_{n \text{odd}} \cos(\frac {n\pi x} a)\cos(\frac {n\pi x_0} a) + \sum_{n \text{even}} \sin(\frac {n\pi x} a)\sin(\frac {n\pi x_0} a) \right)$$
Qualcuno mi saprebbe dire come ricavare quest'ultima formula, perché mi potrebbe essere utile per risolvere un paio di altri problemi.

Grazie mille
Ric

PS: di primo acchito penso sia collegata alla trasformata di Fourier della delta di dirac, però mi sono un po' impastato con i conti e non mi viene bene... Magari riprovo domani che adesso è un po' tardi :-D
Ultima modifica di dRic il 21/05/2019, 12:11, modificato 1 volta in totale.
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Re: rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dissonance » 21/05/2019, 12:05

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Re: rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dRic » 22/05/2019, 00:14

Grazie. Ora riprovo a fare i conti e vedere se mi torna.
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Re: rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dissonance » 22/05/2019, 10:23

Si, non c'è da fare grandi conti. Quella è semplicemente la formula
\[
\delta_P(x)=\sum_{n\in\mathbb Z} e^{2\pi i n x}, \]
traslata di \(x_0\) e scritta in forma reale.

P.S.: Scrivo \(\delta_P\) per dire "\(\delta\) periodica", ovvero
\[
\delta_P(x)=\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(x-n).\]
E' il pettine di Dirac, che nel link a Wikipedia viene chiamato con nomi per me strampalati ("\(III\)" o cose del genere).
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Re: rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dRic » 26/05/2019, 19:30

Ciao, mi scusi se non mi sono fatto vivo, è che non ho avuto molto tempo libero in questi giorni. Grazie mille per la risposta :D
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Re: rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dissonance » 27/05/2019, 09:24

Ma cosa mi dai, del lei? :-D
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Re: rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dRic » 27/05/2019, 14:15

Se fossimo l'uno di fronte all'altro, le darei del Lei: perché non va bene usarlo qua allora ? :D
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Re: rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dissonance » 27/05/2019, 15:13

E perché mi daresti del lei? Comunque, l'etichetta di questo forum è che ci si da tutti e tutte del tu. Fallo anche tu per favore. :-)
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Re: rappresentazione delta di dirac in serie di fourier

Messaggioda dRic » 27/05/2019, 18:17

E perché mi daresti del lei?

Abitudine. Inoltre mi piace come usanza della nostra lingua: è una forma di rispetto molto elegante.

PS: D'accordo ti darò del "tu"; anche se mi fa un po' strano :-D
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