Ho alcuni punti di un esercizio nella quale non sono riuscito a fare molto onestamente, qualcuno sa come procedere?
$X$ è una variabile casuale bernoulliana di param $p$ quindi $X~B(p)$
$a)$ Esprimere in funzione di $p$ la seguente probabilità: $P(X<=0.5)$
$b)$ Controllare che $Var(X) <= 1/4$
$c)$ Dato $epsi > 0$ numero reale e $n>1$ intero, verificare che $P(|T - p| <= epsi) >= 1 - delta$ con $T=$ media campionaria
Sia $Y$ variabile casuale binomiale di parametri $n=37$ e $p=0.35$
Sia $N$ variabile casuale normale con lo stesso valore atteso e varianza di $Y$
$d)$ Calcolare $P(|Y-E(Y)|<=1.5)$ ed $P(|N-E(N)|<=1.5)$
Per la $a$ non sono sicuro ma ho guardato la funzione di ripartizione e quindi ho risposto $1-p$
Per la $b$ non so onestamente come procedere, l'unica informazione che mi viene in mente è che la $Var$ di una bernoulliana è massima con $p=1/2$ ma oltre a ciò non so altro...
Per la $c$ penso si debba utilizzare la disuguaglianza di Chebyshev con la quale arriverei a dire $... >= sigma^2/epsi^2$ ma non so quanto mi possa aiutare...
Per la $d$ ho fatto il seguente ragionamento:
So che $Y ~ B(n,p)$ e siccome $n$ è ragionevolmente grande posso applicare il teorema del limite centrale quindi
$Y ~ N(np, sqrt(np(1-p)))$ cioè $Y ~ N(12.95, 2.90)$ allora $P(-0.51<= Z <= 0.51)$ cioè $2Phi(0.51)-1 = 0.38$, può tornare? Nel caso della seconda probabilità però mi verrebbe lo stesso procedimento e risultato, cosa sto sbagliando?
Grazie mille, so che sono tanti ma ho preferito inserirli in un solo post piuttosto che spacchettarli in più argomenti.