esercizi meccanica quantistica

[Andrea-.-'']

Buongiorno,

stavo lavorando ad un vecchio esonero di meccanica quantistica ma ho avuto qualche problema.
Per quanto riguarda il primo esercizio non ho avuto problemi.

Nel secondo esercizio ho avuto difficoltà:
Per quanto riguarda il procedimento generale posso osservare che ad ognuna delle regioni del potenziale posso associare una funzione d'onda particolare, ovvero:
$\psi_1=Ae^(ikx)+Be^(-ikx)$
$\psi_2=Ce^(ik_1x)+De^(-ik_1x)$
$\psi_3=Ee^(2ik_1x)+Fe^(-2ik_1x)$
$\psi_4=Ge^(ikx)$

Da queste si vede che
\( J_1=\hbar (1/m)\Im[\psi_1^*\bigtriangledown \psi_1]=(\hbar k/m)(|A|^2-|B|^2) \)
\( J_2=\hbar (1/m)\Im[\psi_2^*\bigtriangledown \psi_2]=(\hbar k_1/m)(|C|^2-|D|^2) \)
\( J_3=\hbar (1/m)\Im[\psi_3^*\bigtriangledown \psi_3]=(2\hbar k_1/m)(|E|^2-|F|^2) \)
\( J_4=\hbar (1/m)\Im[\psi_4^*\bigtriangledown \psi_4]=(\hbar k/m)|G|^2 \)
Quindi il coefficiente di trasmissione è:
$ T=J_4/J_1^+=|G/A|^2 $

Per poter calcolare esplicitamente questi valori devo però risolvere il sistema delle condizioni di raccordo per i punti x=0 x=L x=2L:
$ { ( A+B=C+D ),( k(A-B)=k_1(C-D) ),( Ce^(ik_1L)+De^(-ik_1L)=Ee^(2ik_1L)+Fe^(-2ik_1L) ):} $

$ {(Ce^(ik_1L)-De^(-ik_1L)=2(Ee^(2ik_1L)-Fe^(-2ik_1L)) ),( Ee^(4ik_1L)+Fe^(-4ik_1L)=Ge^(2ikL) ),( 2k_1(Ee^(4ik_1L)-Fe^(-4ik_1L))=kGe^(2ikL) ):} $
osservando che ottengo un sistema di 6 equazioni in 7 incognite che posso risolvere scrivendo tutte le soluzioni in funzione di A. Una volta fatto posso poi anche riscrivere tutte le soluzioni $\psi_i$ in funzione di A e normalizzare.
In questo problema non riesco proprio a risolvere il sistema senza fare macello con i conti e quindi volevo chiedervi se esiste qualche trucco da usare in questo caso.

Per l'ultimo esercizio sono un po' incerto sul procedimento. Per esplicitare le costanti $a_1$ $a_2$ $b_1$ $b_2$ ho pensato che una costante si elimina attraverso la normalizzazione, per le tre che rimangono ho pensato di richiedere la continuità in x=0 della soluzione e della derivata prima.
Dalla continuità della soluzione:
$ lim_(xi -> 0) u_k(xi)=lim_(xi -> 0) a_1sen(xi)+a_2sin(xi)/xi+b_1cos(xi)+b_2cos(xi)/xi=0 $
quindi devo chiedere $b_2=0$ e così risulta $b_1+a_2=0$
Dalla continuità della derivata prima:
$ lim_(xi -> 0) a_1cos(xi)+a_2[(xicos(xi)-sin(xi))/xi^2+sin(xi)]=a_1+a_2*0=0 $
Quindi
$ u_k=a_2(sin(xi)/xi-cos(xi)) $
mancherebbe solo la normalizzazione ma non mi vengono i conti.
Ad ogni modo secondo voi richiedere la continuità della derivata prima è corretto?
Inizialmente avevo pensato di imporre la continuità di $J$ ma con la continuità della derivata prima si ottiene automaticamente la continuità di $J$

[Nikikinki]

Non hai usato per niente il fatto che $k_1=\pi/L$. A questo punto gli esponenziali in $k_1$ (cioè quasi tutti), nelle condizioni di raccordo, spariscono e vengono sostituiti semplicemente da $1$ e $-1$ a seconda della fase. Magari a quel punto fai meno confusione.


Nell'altro esercizio più che continuità stai chiedendo proprio la verifica delle condizioni a contorno attenzione, come suggerisce il testo. $\u(0)=0$ è una condizione a contorno, che ha senso perché dove il potenziale è infinito la funzione d'onda deve annullarsi. Infatti essendoti fatto trascinare dalle "continuità" stai cercando di imporre che la derivata sia nulla, in 0, ma non ne vedo il motivo (prendi la buca infinita, le soluzioni sono dei seni, che agli estremi si annullano, ma mica partono con derivata nulla). Credo tu debba usare l'altro suggerimento che ti viene dato, cioè passare dall'equazione agli autovalori. Hai le soluzioni, le derivi, le metti nell'equazione e immagino che per confronto, o per annullamento dei coefficienti, tu possa estrarre altre condizioni utili. E alla fine normalizzi con la delta.

[Andrea-.-'']

Cavolo non mi ero accorto che $\k_1=pi/L$, mi era totalmente sfuggito
avrei dovuto leggere più attentamente il testo del esercizio

Per l'ultimo esercizio proverò a seguire il tuo suggerimento, grazie per la dritta!!

[Andrea-.-'']

Ho rifatto i conti come hai suggerito ma facendo come dici tu viene lo stesso risultato

$ hat(H)=(p^2/(2m)+\barh\^2/(mx^2)) =(-bar(h)^2/(2m)d^2/dx^2+bar(h)^2/(mx^2))=-E(d^2/(d(xi)^2)-2/(xi^2) ) $
$ hat(H)u=-E(d^2/(d(xi)^2)-2/(xi^2) )u=Eu->(d^2/(d(xi)^2)+(1-2/(xi^2)) )u=0 $

dopo aver applicato la condizione al contorno ho $\u(xi)=(a_1+a_2/(xi))sen(xi)-a_2cos(xi)$ allora

$ d^2/(d(xi)^2)[(a_1+a_2/(xi))sen(xi)-a_2cos(xi)]=[-a_1sen(xi)+a_2cos(xi)+a_2((2xi-xi^3)senxi-2xi^2cosxi)/(xi^4)] $
$ (1-2/xi)u(xi)=-[-a_1sen(xi)+a_2cos(xi)+a_2((2xi-xi^3)senxi-2xi^2cosxi)/(xi^4)]-2a_1/xi senxi $

allora $a_1=0$ e $ \u(xi)=a_2((sen(xi))/(xi)-cos(xi)) $

[Nikikinki]

Non mi è chiaro l'ultimo passaggio.

$ (1-2/xi)u(xi)=-[-a_1sen(xi)+a_2cos(xi)+a_2((2xi-xi^3)senxi-2xi^2cosxi)/(xi^4)]-2a_1/xi senxi $

Hai ricavato la derivata seconda, quindi devi verificare che
$(1-2/xi^2)u(\xi)=-d^2/(d\xi^2)u(\xi)$

perché ci hai aggiunto quel $-2a_1/xi senxi $? E mi pare hai mancato un quadrato alla variabile a sinistra delluguaglianza. Magari ho perso il filo io, ho solo scorso i conti che hai fatto ad occhio non li ho rifatti, ma non l'ho capito quell'addendo finale. A parte questa cosa visto che dici che il conto non torna immagino avrai la soluzione prevista dal professore. Riportala, che magari riusciamo a capire dove sta l'inghippo senza rifare il conto da capo. O magari può anche essere sbagliata la soluzione proposta eh, non è che sia impossibile. Comunque mi parrebbe davvero strano se ottenessi lo stesso risultato che imponendo l'annullamento della derivata, dovrebbe essere una coincidenza notevole perché in generale un punto di potenziale infinito dà una condizione solo sull'annullamento della funzione d'onda, la derivata anzi al massimo ha un salto.

[Andrea-.-'']

Non mi è chiaro l'ultimo passaggio.

$ (1-2/xi)u(xi)=-[-a_1sen(xi)+a_2cos(xi)+a_2((2xi-xi^3)senxi-2xi^2cosxi)/(xi^4)]-2a_1/xi senxi $

Hai ricavato la derivata seconda, quindi devi verificare che
$ (1-2/xi^2)u(\xi)=-d^2/(d\xi^2)u(\xi) $

perché ci hai aggiunto quel $ -2a_1/xi senxi $? E mi pare hai mancato un quadrato alla variabile a sinistra delluguaglianza. Magari ho perso il filo io, ho solo scorso i conti che hai fatto ad occhio non li ho rifatti, ma non l'ho capito quell'addendo finale. A parte questa cosa visto che dici che il conto non torna immagino avrai la soluzione prevista dal professore. Riportala, che magari riusciamo a capire dove sta l'inghippo senza rifare il conto da capo. O magari può anche essere sbagliata la soluzione proposta eh, non è che sia impossibile. Comunque mi parrebbe davvero strano se ottenessi lo stesso risultato che imponendo l'annullamento della derivata, dovrebbe essere una coincidenza notevole perché in generale un punto di potenziale infinito dà una condizione solo sull'annullamento della funzione d'onda, la derivata anzi al massimo ha un salto.

Scusa mi sono perso il quadrato mentre riscrivevo i dati nel post
per evidenziare il termine $ -2a_1/(xi) senxi $che in realtà sarebbe $ -2a_1/(xi)^2 senxi $basta moltiplicare $(1-2/xi^2)$ per $a_1 sin(xi)$
$ (1-2/xi^2)a_1 sin(xi)=a_1sin(xi)-(2a_1)/(xi^2)sin(xi) $

($a_1 sin(xi)$ è il primo termine di $u(xi)$)

Comunque il professore fornisce tutti gli esami ed esoneri vecchi senza soluzione e/o svolgimento.
Quindi purtroppo non posso fare il confronto per vedere se i conti tornano.
Alla fine con un po' di allenamento i conti si impara a farli, per me il problema principale è capire come si risolve un problema senza fare errori nel procedimento (come imporre la continuità della derivata prima quando non serve )

[Nikikinki]

per evidenziare il termine $ -2a_1/(xi) senxi $che in realtà sarebbe $ -2a_1/(xi)^2 senxi $basta moltiplicare $ (1-2/xi^2) $ per $ a_1 sin(xi) $
$ (1-2/xi^2)a_1 sin(xi)=a_1sin(xi)-(2a_1)/(xi^2)sin(xi) $
($ a_1 sin(xi) $ è il primo termine di $ u(xi) $)

Perdonami ancora non capisco. Tu devi scrivere

$ (d^2/(d\xi^2)+(1-2/xi^2))u(\xi)=0 $ ovvero $d^2/(d\xi^2)u(\xi)+(1-2/xi^2)u(\xi)=0$ ovvero

$(1-2/xi^2)u(\xi)=-d^2/(d\xi^2)u(\xi)$

Poi invece valuti $(1-2/xi^2)u(\xi)=-d^2/(d\xi^2)u(\xi)-2a_1/\xi^2 sen\xi $ . Stai cambiando l'equazione, non stai evidenziando dei termini.

[Andrea-.-'']

Quello che intendevo è che:

l' equazione che $u(xi)$ deve soddisfare è $ (d^2/(d\xi^2)+(1-2/xi^2))u(\xi)=0 $
ma facendo i conti con $u(xi)$ ottengo:
$ (1-2/xi^2)u(\xi)+d^2/(d\xi^2)u(\xi)=2a_1/\xi^2 sen\xi $

che è diversa dalla precedente per il termine $2a_1/\xi^2 sen\xi $
Le due equazioni però coincidono se $ a_1=0 $ allora $u(xi)$ deve avere $ a_1=0 $ per poter soddisfare
$ (d^2/(d\xi^2)+(1-2/xi^2))u(\xi)=0 $

dire che il parametro generico $ a_1 $ deve essere nullo è possibile solo dopo aver "evidenziato" che $2a_1/\xi^2 sen\xi $ rende diverse le due equazioni (quella che voglio e quella che ho ottenuto) ed è quindi ciò che devo annullare

dai passami il termine mi sto arrampicando sugli specchi

[Nikikinki]

Ok ho capito che vuoi dire quindi avevi già sostituito la funzione e la derivata e ti avanzava quell'addendo. Messo così è veramente ambiguo ma ok, basta capirsi . Va bene allora è giusto cosi (mi suona strano ma se le quantità sono quelle c'è poco da fare) ma lo è perché serve all'equazione, non per la continuità della derivata.