Asta su uno spigolo

[Lucy303]

Buonasera, avrei bisogno di un aiuto su un esercizio circa l'equilibrio di un corpo rigido.
Un'asta di massa M e lunghezza L è adagiata contro un muro privo di attrito,con un quarto della sua lunghezza che sporge da uno spigolo. L'asta forma un angolo θ con l'orizzontale. Quale angolo θ con l'orizzontale richiede il minimo valore del coefficiente di attrito statico tra l'asta e lo spigolo per tenere l'asta in equilibrio?


Ho proceduto così:
Ho determinato le forze in gioco, reazione normale nel punto di contatto asta muro, forza peso che agisce in corrispondenza del centro di massa dell'asta e una reazione vincolare nel punto di contatto asta spigolo, che ho supposto essere inclinata verso destra in modo da fornire una componente verticale(reazione normale) che si oppone alla forza peso e una componente orizzontale(forza di attrito) che si oppone alla forza normale del muro e ho scritto le equazioni dell'equilibrio traslazionale e rotazionale, ho ricavato una funzione del coefficiente di attrito statico in funzione dell'angolo e ho usato la derivata per determinare il valore minimo. Il risultato non riesce e tra l'altro mi sorge qualche dubbio circa il vettore reazione vincolare dello spigolo. Il risultato dell'esercizio è θ=30°

[professorkappa]

A me viene 45.

[Lucy303]

Potresti postare la tua risoluzione?

[professorkappa]

Ma no; posta tu la tua che la vediamo. Della mia non interessa a nessuno.

[Shackle]

Un'asta di massa M e lunghezza L è adagiata contro un muro privo di attrito,con un quarto della sua lunghezza che sporge da uno spigolo. L'asta forma un angolo θ con l'orizzontale.

Sei sicura del testo , e della figura ? Quale è l'orizzontale , quale è la verticale ? Guardando la figura , mi viene di ruotarla in senso antiorario di 90º , visto che $theta$ deve essere l'angolo che l'asta forma con il piano orizzontale.

[Lucy303]

La figura deve essere ruotata, lo spigolo sporgente è sull'orizzontale

[Shackle]

Dai dati del problema, e con la figura messa nel modo giusto, si deduce quanto segue.

LA reazione del muro $vecR$ è solo orizzontale, poiché non c'è attrito . LA reazione dello spigolo $vecF$, invece, ha sia un componente normale all'asta $vecN$ che un componente tangente all'asta $vecA$ , il quale non è altro che la forza di attrito che lo spigolo esercita sull'asta. Affinché l'asta non scivoli , deve essere :

$A<=muN$ (moduli delle forze)

Ci interessa quindi trovare i due vettori componenti anzidetti . PER fare ciò , dobbiamo passare prima attraverso un'altra scomposizione della reazione dello spigolo , quella secondo le due direzioni verticale e orizzontale :

$vecF = vecF_o + vecF_v$

infatti, dobbiamo scrivere le equazioni di equilibrio dell'asta alla traslazione orizzontale e alla traslazione verticale , nonché l'equilibrio alla rotazione rispetto allo spigolo , che si assume come polo.

Fatto questo lavoro, cioè trovate le componenti verticale e orizzontale , si passa alle componenti $A$ e $N$ mediante relazioni trigonometriche , un po' brigose ma non difficili ( che non riporto... ) . La condizione $A<=muN$ diventa , dopo vari passaggi :

$sen2theta <= mu( 1 + 2sen^2theta) $

da cui : $mu >=(sen2theta)/( 1 + 2sen^2theta) $

il più piccolo valore di $mu$ , funzione dell'angolo $theta$ , si ha prima di tutto prendendo il segno di uguaglianza :

$mu=(sen2theta)/( 1 + 2sen^2theta) $

per trovare l'angolo $theta$ a cui corrisponde il minimo, si calcola la derivata $ (dmu)/(d\theta) $ , e la si pone uguale a zero . Alla fine , ho trovato che deve essere :

$cos2\theta * ( 1 +2sen^2theta) = sen^2(2theta) $

Lungi da me l'idea di mettermi a risolvere equazioni trigonometriche !

Mi sono limitato a verificare che la soluzione proposta dal libro , e cioè $theta = 30º$ , è giusta .

[professorkappa]

a me viene $mu=*(1+2sin^2theta)/sin(2theta)$ (l'inverso di SHackle).
Se faccio la derivata e annullo mi da' 45. Ma probabilemtne errore di derivazione mio, probabilmente nella prostaferesi; lo riguardero' con calma

[Lucy303]

Ti ringrazio Shackle per la risposta esaustiva, ma non mi è chiaro un passaggio. Perché per trovare per le due componenti N e A passiamo per l'ulteriore scomposizione di F in Fo e Fv?

[Shackle]

Perché devi prima scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale, verticale, e alla rotazione rispetto allo spigolo. Ad esempio, la prima detta ci dà: $F_o =R$. Ma puoi anche proiettare tutte le forze agenti sulla direzione dell’asta e sulla sua normale, e poi scrivere le condizioni di equilibrio: il risultato è lo stesso. Io ho trovato più facile il primo modo.