continuità di funzione definita a tratti

[cri98]

$ { ( e^(x/((1/x)+1)) (se x=0) ),( 0 se x\ne0):} $

1) è continua su R
2)è discontinua per qualche X0 appartenente ai reali
3)è continua su R
4) è continua su R \{0}

io pensavo di calcolare il limite destro della prima espressione è se ottengo che il limite destro torna uguale a 0 allora la funzione è continua altrimenti risulta discontinua.

$ lim_(x -> 0^+) e^(x/((1/x)+1))=e^(0/0)=1 $
il limite è svolto correttamente?

in questo caso ottengo che il limite destro è 1 mentre il limite sinistro è 0, quindi posso concludere che la funzione non e continua in 0.

Grazie!

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Mi sa che la funzione l'hai scritta male ed in realtà sia la seguente:

$ f(x) = {(e^{\frac{x}{1/x+1}} \text{ se } x!=0), (0 \qquad \quad \text{ se } x=0):} $

[cri98]

si pilloeffe scusa Grazie!

[pilloeffe]

Prego!

il limite è svolto correttamente?

Il risultato del limite è corretto, ma lo svolgimento è errato...
Dato poi che si ha

$ \lim_{x \to 0^{\pm}} e^(x/((1/x)+1)) = 1 $

in $ x_0 = 0 $ la funzione proposta presenta una discontinuità eliminabile ridefinendo la funzione nel modo seguente:

$f^{star}(x) := {(e^{\frac{x}{1/x+1}} \text{ se } x!=0), (1 \qquad \quad \text{ se } x=0):} $