Re: integrale doppio

Messaggioda cechuz » 24/05/2019, 09:03

se io metto a sistema il cono e l'ellisse trovo i punti in cui le due quadriche combaciano, ossia l'ellisse $ 26x^2+104z^2=1 $ (dai per buoni i calcoli), ora non capisco come risalire al valore reale $a$...
Inoltre è indispensabile spezzare il dominio? perchè io avevo pensato ad un integrazione per strati con $ yin [0,5] $ nel dominio $ T_xz:={(x,z)in R^2 | 26x^2+104z^2<=1} $ e poi di ricorrere alle coordinate ellittiche. In sintesi avrei ottenuto questo integrale ( dai i calcoli di nuovo pere buoni) : $ int_(0)^(5) (int_(0)^(2pi) (int_(0)^(1) 1/52 rho drho) dvartheta) dy $
oppure avevo pensato di ricorrere alla $ mis(T_(xz)) $ quindi avrei avuto: $ int_(0)^(5) 1/52 pi dy $

Bokonon ha scritto:Nella sostanza il volume su cui integrare è prima una porzione di solo cono e dopo una porzione di solo ellissoide.
Se tagli le curve con dei piani paralleli al piano xz...ovvero imponi $ y=a $, noterai che ottieni sempre ellissi del tipo $ x^2/4+z^2=b $
Quindi ci sarà un valore di $ y=a $ per cui cono ed ellissoide combacieranno perfettamente: trovalo.


non capisco se questa è la risposta alla mia domanda circa il metodo analitico per verificare se ho considerato il dominio esatto, perchè in quel caso non mi è chiaro...
cechuz
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Re: integrale doppio

Messaggioda Bokonon » 24/05/2019, 09:45

Mi perplimi Cechuz!
Giuro che non capisco cosa non capisci. Immagina che il tuo falegname di fiducia ti crei un cono e un "uovo".
Poi ti fai tagliare l'uovo in modo che combaci col cono e incolli il tutto: il tuo dominio.
Una parte del dominio è descritta dal cono, la rimanente dall'elissoide.
Se tu volessi trovare il volume dela tua opera in legno, faresti appunto l'integrale del pezzo di cono + l'integrale del pezzo di ellissoide. Non esiste un'unica funzione da integrare in tutto il dominio, ce ne sono due...e per fortuna sono ben spezzate (volendo potevano darti una variante del dominio ben più difficile di questa).

$ { ( x^2/4+z^2=1-y^2/25 ),( x^2/4+z^2=y^2 ):} $
$1-y^2/25=y^2$
$y^2=25/26$
E puoi verificare (sostituendo) che effettivamente ottieni la medesima ellisse.
Prendiamo la radice positiva $y=5/sqrt(26)$

E adesso fai i due integrali tripli.
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Re: integrale doppio

Messaggioda cechuz » 24/05/2019, 11:38

sii scusami ahaha sono entrata perchè volevo cancellare la domanda... ho capito perfettamente! il problema era che non riuscivo bene a visualizzare il solido, ho ragionato per una vita in 2d... le 3d ancora mi creano qualche difficoltà :roll:
Praticamente abbiamo l'unione di un cono chiuso e di un pezzettino di ellissoide sopra di esso, quindi l'integrale sarà
$ int_(0)^(5/sqrt26) (int int_([x^2/4+z^2<=y^2/25+1]) dxdz)dy+ int_(5/sqrt26)^(5)( int int_([x^2/4+z^2<=y^2)]dx dz) dy $

ora passando alle coordinate ellittiche avrò per il primo integrale: ${ ( x=2cdot1/sqrt(y^2/25+1)rhocostheta ),( z=1/sqrt(y^2/25+1)rhosintheta ):} $ ossia $ { ( x=2cdot(sqrt(y^2/25+1))rhocostheta ),( z=sqrt(y^2/25+1)rhosintheta):} $
mentre per il secondo integrale avrò : $ { ( x=2y rhocostheta ),( z=y rhosintheta):} $

quindi in sintesi l'integrale diventa: $ int_(0)^(5/sqrt26) int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) 2(y^2/25+1)rho drho) dvartheta) dy + int_(0)^(5/sqrt26) int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) 2y^2 rho drho) dvartheta) dy $

corretto?
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Re: integrale doppio

Messaggioda Bokonon » 24/05/2019, 12:29

Ok, almeno adesso abbiamo chiarito la faccenda del dominio...e stai anche imparando a visualizzare le curve 3D.
Due ottimi passi avanti...credimi, non scherzo: identificare il dominio è il passo fondamentale e spesso il più difficile in 3D. Datti una pacchetta sulla spalla.

Ora possiamo restare negli assi cartesiani oppure trovare una sostituzione che ci semplifichi la vita.
Visto che y varia in un dominio chiuso, io proporrei le coordinate cilindriche.

Ma qui arriva la nota dolente...che razza di sostituzione ti sei inventata? E' un mix di coordinate cartesiane e polari..perchè?
Ripartiamo dalla visualizzazione del problema. Abbiamo visto che se tagliamo il dominio con un piano parallelo a xz del tipo y=a, otteniamo solo fette che sono ellissi del tipo già menzionato. Se il problema richiede di trovare il volume di questo dominio, allora sostanzialmente stiamo sommando le aree di queste ellissi fra $0<y<5$. Ora giusto per visualizzare guardiamo all'asse maggiore di queste ellissi. All'inizio l'asse è zero, perchè l'ellisse è degenere e coincide con l'origine poi cresce e lo fa in modo proporzionale alla y (perchè sta dentro un cono) e raggiunge un massimo per $y=5/sqrt(26)$.
A questo punto torna ad accorciarsi...ma all'inizio lo farà in modo meno che proporzionale (perchè si restringerà in modo "parabolico") e poi oltre un certo punto $y=c$ invece inizierà a stringersi in modo più che proporzionale (ovvero più rapidamente di un cono) per poi collassare a zero quando $y=5$.
Questo ci dice il $rho$ dipenderà appunto dalla curva e da y. Chiaro?

E adesso scriviamo le coordinate cilindriche:
$ { ( x=2rhocos(theta)),( z=rhosin(theta) ),( y=h ):} $
Sostituendo nel cono, abbiamo che $rho^2=h^2$ da cui $0<rho<h$. Mentre $0<theta<2pi$ e $0<h<5/sqrt(26)$
Sostituendo nell'ellissoide abbiamo che $rho^2=1-h^2/25$ da cui $0<rho<sqrt(1-h^2/25)$. Mentre $0<theta<2pi$ e $5/sqrt(26)<h<5$
Infine abbiamo che lo jacobiano è $2rho$

E ora basta scrivere gli integrali:
$int_0^(2pi) int_0^(5/sqrt(26)) int_0^h f(rho,theta,h)*2rho*drhodhd theta+int_0^(2pi) int_(5/sqrt(26))^5 int_0^sqrt(1-h^2/25) f(rho,theta,h)*2rho*drhodhd theta$

Se ti avessero dato una funzione $f(x,y,z)$ da integrare in quel dominio, allora la trasformeresti usando le sostituzioni in $f(rho,theta,h)$ e procederesti al calcolo.
Se $f(rho,theta,h)=1$ allora troverai il volume del nostro dominio...che (se non ho sbagliato i calcoli) è pari a $(20(sqrt(26)-1)pi)/(3sqrt(26))~=16,84$
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Re: integrale doppio

Messaggioda cechuz » 24/05/2019, 12:57

ho seguito un esercizio svolto dal mio prof:
1)https://imgur.com/ROa3iEZ
2)https://imgur.com/YPACOGy
3)https://imgur.com/LuB4SHp
poi pensavo che le coordinate cilindriche fossero sempre del tipo $ { ( x=rhocos(theta)),( z=rhosin(theta) ),( y=h ):} $ non del tipo $ { ( x=arhocos(theta)),( z=brhosin(theta) ),( y=h ):} $
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Re: integrale doppio

Messaggioda Bokonon » 24/05/2019, 13:36

Non ho idea di cosa abbia scritto effettivamente il prof, ma quella sostituzione è priva di ogni logica.
Per la seconda domanda, non esiste una definizione meccanica per una sostituzione in generale.
Esistono buone sostituzioni e cattive sostituzioni.
Completa l'esercizio col calcolo...e se vuoi apri un nuovo thread con l'esercizio del prof.
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Re: integrale doppio

Messaggioda cechuz » 24/05/2019, 14:07

si penso che aprirò un altro thread per quello.

Ultimo esercizio veloce veloce per verificare se ho capito:
$ f(x,y,z)=1 $ e $A={x^2+y^2+z^2<=4, x^2+z^2<=y^2} $
si tratta di una sfera scavata all'interno da un cono.
Prima di tutto determino i punti in cui sfera e cono combaciano:
${ ( y^2=x^2+z^2 ),( 2y^2=4 ):} $ (ho già sostituito) allora $ y=+- sqrt2 $
ora ricorro alle coordinate polari ed ho che:
$ { ( x=rhocosvartheta ),( y=h), (z=rhosinvartheta):} $
Considero solo il quadrante positivo per questioni di simmetria
quindi per la porzione in cui $ yin[0,sqrt2] $ ho che $ rho^2<=h^2 $ ossia $ 0<=rho<=h $ (su $vartheta$ non ci sono vincoli)
mentre per la porzione in cui $ yin[sqrt2,2] $ho che $ rho^2<=4-y^2$ ossia $ 0<=p<= sqrt(4-y^2) $ (su $vartheta$ non ci sono vincoli)
allora l'integrale del volume diventa: $2 int_(0)^(2pi) (int_(0)^(sqrt2) (int_(0)^(h) p dp) dh) dvartheta + 2int_(0)^(2pi) (int_(sqrt2)^(2) (int_(0)^(sqrt(4-y^2)) p dp) dh) dvartheta $

ti prego dimmi che ho fatto bene :P
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Re: integrale doppio

Messaggioda Bokonon » 24/05/2019, 14:31

cechuz ha scritto:Ultimo esercizio veloce veloce per verificare se ho capito:
$ f(x,y,z)=1 $ e $A={x^2+y^2+z^2<=4, x^2+z^2<=y^2} $
si tratta di una sfera scavata all'interno da un cono.

Mi stai sequestrando :-D
A una prima occhiata davvero veloce, io vedo un solido composto da due coni + una calotta sopra ogni cono, quindi due coni gelato identici con una pallina al cioccolato.
Quindi due volumi da trovare: il volume del cono per $0<y<a$ e la calotta sferica (pallina di gelato) per $a<y<2$...il tutto moltiplicato per 2.
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Re: integrale doppio

Messaggioda cechuz » 24/05/2019, 14:46

Allora penso di aver fatto bene! Scusami è l'ansia da esami ahahah se potessi ti offrirei almeno un caffè! Grazie, grazie! :D
cechuz
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Re: integrale doppio

Messaggioda Bokonon » 24/05/2019, 19:48

cechuz ha scritto:Allora penso di aver fatto bene! Scusami è l'ansia da esami ahahah se potessi ti offrirei almeno un caffè! Grazie, grazie! :D

Hai fatto bene :D
..altra pacchetta

P.S. Per toglierti ogni paura...potresti provare a farli usando differenti parametrizzazioni.
La parte della calotta sferica puoi farla anche con le coordinate sferiche o usando un integrale ad una variabile e ruotando la curva attorno ad un asse.
La verità è che da studenti si passa più tempo a cercare metodi meccanici per risolvere i problemi invece di capirli.
Poi magari ci si dice "ma davvero non saprei cosa fare se nessuno mi dicesse cosa fare?" e si spende un paio di giorni a provare tutto. Dopodichè ci rende conto che si è in grado di fare tutto e di più.
Giusto per dire...io non ho mai fatto integrali tripli in vita mia, ne integrali curvilinei o di superficie.
Se ci arrivo io, stai certa che tu puoi fare di più.
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