Bokonon ha scritto:Il concetto pratico invece è che misuriamo la lunghezza di un arco di curva con pitagora usando per esempio $Deltas=sqrt(Deltax^2+Deltay^2+Deltay^2$
Ma visto che è una pessima approssimazione (a meno che la curva non sia una retta lungo quella direzione) usiamo il calcolo
$ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)$
e grazie alla linearità dell'intorno di un punto (sempre sia benedetta altrimenti sarebbe l'intera idea di calcolo ad andare a farsi benedire) abbiamo stime di archetti infinitesimali...che possiamo sommare.
E se parametrizziamo?
Beh allora diventa $ds=dt/dtsqrt(dx^2+dy^2+dz^2)=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt=sqrt((x^'(t))^2+(y^'(t))^2+(z^'(t))^2)dt=||r^'(t)||dt$
Ora se si sceglie una parametrizzazione tale che per alcuni t possiamo avere $r^'(t)=<0,0,0>$, ovvero $||r^'(t)||=0$ sarebbe perlomeno imbarazzante. Esempio otraggiosamente banale è la curva $y=x$ che possiamo parametrizzare sia con $(t,t)$ che con $(t^3,t^3)$ (senza ambiguità). La prima parametrizzazione ha derivata $(1,1)$ mentre la seconda $(3t^2,3t^2)$ e quindi può diventare $(0,0)$ per $t=0$.
Da qua la necessità di introdurre la definizione di "arco di curva regolare".
P.S. I matematici non farebbero passaggi del genere manco sotto tortura. I fisici e non solo invece li fanno in continuazione e concludono con una presa in giro ai matematici. Non è uno scherzo, ho visto sia Feynman che Susskind farlo...giusto per citarne due.
P.S.2 Riprendendo ciò che ha scritto Anto e usando i due esempi di parametrizzazione di cui sopra, in una parametrizzazione l'omino procede a velocità costante e nell'altra a velocità variabile che diventa zero per t=0.
Ciao ragazzi! Anzitutto grazie per la nutrita partecipazione.
Si all'inizio pensavo che in quanto cinematicamente $r'(t)$ rappresenta il vettore velocità istantanea, venisse dichiarato che $r'(t)$ dovesse necessariamente essere $!=0$ semplicemente perchè essendo vettore individua per definizione una direzione e questo è valido solo se le sue componenti non sono tutte nulle.
Poi andando a studiare come ricavare la lunghezza di un arco di curva regolare non comprendevo il motivo per cui sarebbe stato un problema che $||r^'(t)||=0$ , anzi avrebbe semplificato il calcolo portando a definire la lunghezza nulla.
Mi stai dicendo che prendendo una curva non regolare e provando a calcolarne la lunghezza per parametrizzazioni equivalenti in un intervallo $(a,b)->R^m$ potrei avere risultati diversi?
Però non ne sono affatto sicuro l'esempio $y=x$ è una curva regolare per $t\in(1,2)$ mentre non lo è per $t\in(-1,2)$? quindi nel secondo caso non avrebbe senso calcolarne la lunghezza?
Ho risposto a Bokonon perchè mi è stato più facile farlo, però la domanda è estesa a tutti, magari mi avete detto la stessa cosa ma non ho colto!