Studio di una funzione

[Ale112]

Salve, avrei qualche dubbio sul seguente esercizio:

Sia f la funzione definita da $f(x) = sqrt(x) - (xln(x))/(x-1)$.
(a)Provare che esiste un prolungamento F di f in x0=1 e dimostrare che è almeno di classe C^2 in (0,+infinito).
(b)Scrivere il polinomio di Taylor di F di ordine 2 in 1.

SVOLGIMENTO:

(a)Faccio il limite per $x->1$della funzione e trovo che tende a 0. Ho quindi

F(x) = f(x) per x > 0 diverso da 1
F(x) = 0 per x = 1
Per controllare se è almeno di classe C^2 la derivo 2 volte studiandone la continuità.
Nel punto (b) capisco di aver fatto un errore in (a) perchè il polinomio di Taylor mi viene nullo dato che F(1) = 0. Qualche aiutino?

[gugo82]

Cosa c’entra il polinomio di Taylor?

[Ale112]

E' una domanda dell'esercizio, chiede di trovare il polinomio di Taylor di grado 2 della funzione F

[gugo82]

Sì, ma per scrivere il polinomio di ordine 2 devi verificare che $f$ è derivabile almeno due volte in $1$… L’hai fatto? Come? Risultato?

[Ale112]

Il polinomio mi chiede di farlo per la funzione prolungata in 1 ovvero F che in 1 vale 0. Avrei però un polinomio nullo...non capisco dove sbaglio.
F so già che è derivabile almeno 2 volte.

[gugo82]

Perché credi che sia sbagliato ottenere il polinomio nullo?

Ad ogni modo, torno a chiederti: come hai verificato che la funzione è derivabile due volte in $1$?

[Ale112]

Dalla teoria so che per verificare la derivabilità almeno una volta devo applicare i rapporti incrementali destro e sinistro in 1 e verificare che esistano finiti e che conincidino.
Ho però che:
$(f(x)-f(1))/(x-1) $= +infinito per x->1, ne dovrei dedurre che non è derivabile neanche una volta in 1 ma sbaglio sicuramente qualcosa..

[gugo82]

Certo che sbagli.
Non riesco a capire se tu stia svolgendo un esercizio o tirando ad indovinare il risultato… Prima mi dici che la funzione è derivabile e calcoli il polinomio di Taylor, poi dici che non è derivabile ma forse hai sbagliato i conti.
Ti pare un approccio serio?

Fa vedere i passaggi.