Questo è un errore: usare oggetti quando non ve ne è alcun bisogno.
L’altro errore è che o non ottieni la tesi, o non sai spiegare bene come l’hai ottenuta/pensi di ottenerla.
Mettiti in testa che una dimostrazione è una sorta di “bolla d’accompagnamento” che deve
chi la legge della validità sua e del teorema cui si riferisce. Se una dimostrazione non fa questo lavoro, semplicemente o non è una dimostrazione o è del tutto inutile.
Consideriamo due famiglie di intervalli $\{I_n = (a_n , b_n) \}_{ n =1, …, N}$ e $\{ J_m = (alpha_m , beta_m) \}_(m =1,…, M)$ limitati ed a due a due privi di punti interni comuni tali che $bigcup_(n =1)^N I_n =P= bigcup_(m = 1)^M J_m$.
Vogliamo provare che risulta $sum_(n=1)^N text(m) (I_n) = sum_(m=1)^M text(m) (J_m)$.
Cominciamo supponendo che $P$ sia un intervallo limitato della retta reale.
In tal caso la famiglia $\{I_n \}$ può essere riordinata in modo che $a_1=text(inf) P$, $b_N = text(sup) P$ e che intervalli corrispondenti ad indici consecutivi risultino consecutivi, i.e. $b_n = text(sup) I_n = text(inf) I_(n+1) = a_(n+1)$ per $n=1, …,N-1$; ovviamente, lo stesso si può fare con la famiglia $\{J_m \}$. In quanto segue supporremo di aver fatto questo riordinamento (se serve) e continueremo a denotare con gli stessi nomi gli intervalli riordinati.
Dalla definizione di misura di un intervallo, segue $sum_(n=1)^N text(m) (I_n) = sum_(n=1)^N b_n - a_n = b_N - a_1 = text(m) (P)$ ed analogamente $sum_(m=1)^M text(m) (J_m) = sum_(m=1)^M beta_m - alpha_m = beta_M - alpha_1 = text(m) (P)$; dunque $sum_(n=1)^N text(m) (I_n) = sum_(m=1)^M text(m) (J_m)$ come volevamo.
Supponiamo, ora, che $P$ non sia un intervallo.
Introduciamo in $P$ la relazione:
\[
\forall x,y \in P,\quad x \mathcal{R} y\ \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow}\ \text{l’intervallo chiuso di estremi } x \text{ ed } y \text{ è contenuto in } P\; .
\]
La relazione ora definita è di equivalenza (verificalo!) e le classi di equivalenza da essa determinate in $P$ sono intervalli disgiunti (verificalo!
1), che chiameremo $P_1, …, P_K$.
È semplice dimostrare (prova!) che per ogni intervallo $I_n$ esiste un unico $k=1, …, K$ tale che $I_n nn P_k != emptyset $, quindi la famiglia $\{ I_n\}$ viene suddivisa in $K$ sottofamiglie disgiunte $\{ I_n^((1))\}$, $\{ I_n^((2))\}$, …, $\{I_n^((K))\}$ di intervalli, ognuna delle quali è tale che $bigcup_n I_n^((k)) = P_k$.
Lo stesso ragionamento si può fare per la famiglia $\{ J_m\}$, la quale viene suddivisa in $K$ sottofamiglie disgiunte $\{ J_m^((1))\}$, $\{ J_m^((2))\}$, …, $\{J_m^((K))\}$ di intervalli, ognuna delle quali è tale che $bigcup_n J_m^((k)) = P_k$.
Allora, visto che i $P_k$ sono intervalli limitati della retta reale, per ogni $k=1, …, K$ risulta $sum_n text(m)(I_n^((k))) = sum_m text(m)(J_m^((k)))$ e perciò $sum_(n=1)^N text(m)(I_n) = sum_(k=1)^K sum_n text(m)(I_n^((k))) = sum_(k=1)^K sum_m text(m)(J_m^((k))) = sum_(m=1)^M text(m)(J_m)$ per proprietà associativa e commutativa della somma.
Poi vict85, che è più ferrato di me in materia, o altri che passano di qui ti sapranno dire se la dimostrazione che ho proposto va modificata o se si può abbreviare.