Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda albalonga » 25/05/2019, 11:42

Mi è capitato di svolgere diversi esercizi in cui dati due spazi vettoriali dovessi dimostrarne l'isomorfismo (sia monomorfismo giocando sul ker, che epimorfismo lavorando sul "codominio").

Il punto è che sono sempre spazi dati, mi chiedevo ora se fosse in qualche modo generalizzabile con una dimostrazione che due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali) siano sempre isomorfi tra loro. Senza specificarne il tipo di spazio come negli esercizi che mi sono stati dati.

Non mi è del tutto chiaro questo fatto, ringrazio :)!
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 12:57

Sì, tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita e della stessa dimensione sono isomorfi.
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 25/05/2019, 13:22

albalonga ha scritto:due spazi n-dimensionali (entrambi n-dimensionali)

Cosa vuol dire esattamente?
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda albalonga » 25/05/2019, 17:35

caulacau ha scritto:Sì, tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita e della stessa dimensione sono isomorfi.


Grazie :), ma come potrei dimostrarlo formalmente? Non ci sono riuscito da solo.

@Bokonon: sì era un po' tautologico :lol:.Volevo solamente chiedere se due spazi n-dimensionali fossero sempre isomorfi tra loro, nient'altro :-D
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 17:50

Metti insieme questi due fatti:

1. Tutti gli spazi vettoriali sono isomorfi a $K^d$, dove $d$ è la loro dimensione.

2. Ogni biiezione dell'insieme \(\{1,\dots, n\}\) induce un isomorfismo $f : K^n \to K^n$.
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 25/05/2019, 17:50

albalonga ha scritto:@Bokonon: Volevo solamente chiedere se due spazi n-dimensionali fossero sempre isomorfi tra loro, nient'altro :-D

In quel caso non ne sono certo...

Prendiamo due spazi vettoriali $ V sube R^n $ e $ W sube R^m $ con $m>n$
Inoltre assumiamo che $dim(V)"="n$.
Data una applicazione $f: V->W$ tale che $Ker(f)={0}$, segue che è iniettiva pertanto $dim(W)"="dim(V)"="n$
Quindi abbiamo due spazi di uguali dimensioni, come da tua ipotesi.
Ma $f$ è un isomorfismo?
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda anto_zoolander » 25/05/2019, 18:58

Per due spazi che hanno la stessa dimensione prendi due basi $B_V={v_1,...,v_n}$ e $B_W={w_1,...,w_n}$

Definisci $L(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$
Che proprietà ha questa applicazione?

Il motivo per cui due spazi con la stessa dimensione siano isomorfi è semplice: i vettori dei due spazi possono essere descritti dallo stesso numero di coordinate.

Per esempio $RR^2$ e $RR^3$ non possono essere isomorfi perché ci sono sempre vettori che escono dal piano in $RR^3$.
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 25/05/2019, 19:10

anto_zoolander ha scritto:Per due spazi che hanno la stessa dimensione

Ma è proprio questo il punto che ho enfatizzato: due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di componenti.
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda caulacau » 25/05/2019, 19:59

Bokonon ha scritto:
anto_zoolander ha scritto:Per due spazi che hanno la stessa dimensione

Ma è proprio questo il punto che ho enfatizzato: due spazi possono avere dimensione uguale ma avere basi con vettori aventi un diverso numero di componenti.

No, non possono...
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Re: Isomorfismi tra spazi vettoriali

Messaggioda Bokonon » 25/05/2019, 20:36

caulacau ha scritto:No, non possono...

$ V={( ( 1 ),( 0 ) ), ( ( 0 ),( 1 ) )} $
$ W={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )} $
Trovare le dimensioni dei due spazi vettoriali
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