arco di curva regolare

[mashi1994]

ciao ragazzi! Nella definizione di arco di curva regolare, mi dimentico sempre di sottolineare che $r'(t)!=0$ forse proprio perchè non l'ho capito.

Vi riporto la definizione del mio libro:

sia $I\subseteqR$ un intervallo. Si dice arco di curva regolare un arco di curva $r:I->R^m$ tale che $r\inC^1(I)$ e $r'(t)!=0$ per ogni $t\inI$.

Sapreste cortesemente spiegarmelo?

[gugo82]

Beh, è una definizione, non c’è molto da spiegare… Cosa di preciso non ti suona?

[mashi1994]

Beh, è una definizione, non c’è molto da spiegare… Cosa di preciso non ti suona?

proprio il perchè sia necessario che $r'(t)!=0$

[gugo82]

È la definizione.

[Luca.Lussardi]

Si tratta di una cosa che serve tutte le volte che devi verificare che qualche proprietà geometrica della curva non dipende dalla parametrizzazione: per far questo tipicamente devi cambiare variabile in un integrale e per usare il teorema del cambiamento di variabile ti serve un'invertibiltà.

[anto_zoolander]

Un altro motivo è dato dal fatto che assegni un nome alle curve per cui intuitivamente la velocità non si annulla o che "un omino posto sulla curva la percorra tutta senza mai fermarsi".

[Bokonon]

Il concetto pratico invece è che misuriamo la lunghezza di un arco di curva con pitagora usando per esempio $Deltas=sqrt(Deltax^2+Deltay^2+Deltay^2$
Ma visto che è una pessima approssimazione (a meno che la curva non sia una retta lungo quella direzione) usiamo il calcolo
$ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)$
e grazie alla linearità dell'intorno di un punto (sempre sia benedetta altrimenti sarebbe l'intera idea di calcolo ad andare a farsi benedire) abbiamo stime di archetti infinitesimali...che possiamo sommare.

E se parametrizziamo?
Beh allora diventa $ds=dt/dtsqrt(dx^2+dy^2+dz^2)=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt=sqrt((x^'(t))^2+(y^'(t))^2+(z^'(t))^2)dt=||r^'(t)||dt$

Ora se si sceglie una parametrizzazione tale che per alcuni t possiamo avere $r^'(t)=<0,0,0>$, ovvero $||r^'(t)||=0$ sarebbe perlomeno imbarazzante. Esempio otraggiosamente banale è la curva $y=x$ che possiamo parametrizzare sia con $(t,t)$ che con $(t^3,t^3)$ (senza ambiguità). La prima parametrizzazione ha derivata $(1,1)$ mentre la seconda $(3t^2,3t^2)$ e quindi può diventare $(0,0)$ per $t=0$.
Da qua la necessità di introdurre la definizione di "arco di curva regolare".

P.S. I matematici non farebbero passaggi del genere manco sotto tortura. I fisici e non solo invece li fanno in continuazione e concludono con una presa in giro ai matematici. Non è uno scherzo, ho visto sia Feynman che Susskind farlo...giusto per citarne due.
P.S.2 Riprendendo ciò che ha scritto Anto e usando i due esempi di parametrizzazione di cui sopra, in una parametrizzazione l'omino procede a velocità costante e nell'altra a velocità variabile che diventa zero per t=0.

[gugo82]

Tutto molto bello, ragazzi.
Però state tutti fornendo “interpretazioni” immediate e sensate della condizione \(\mathbf{r}^\prime (t) \neq \mathbf{0}\) che sì, spiegano cosa significhi la condizione di regolarità, ma no, non spiegano perché tale condizione faccia parte della definizione.
Insomma, è un po’ come se spiegaste ad un tipo che non ha capito perché nella definizione di numero pari ci va “$n$ è divisibile per $2$” raccontando perché è importante che un numero sia divisibile per $2$… Che però è una risposta ad un’altra domanda.

Ho appositamente sollecitato lo OP a chiarire cosa non avesse capito della definizione e se davvero non avesse capito la definizione o se non avesse chiaro altro (come ad esempio “a cosa serve” la condizione di regolarità).
Rimango in attesa di una risposta da OP: cosa non ti è chiaro?

[Luca.Lussardi]

Hai ragione, ma, per quanto mi è parso di capire, il nostro amico chiedeva proprio come mai quella condizione è necessaria nella definizione, cioè a cosa serve...

[mashi1994]

Il concetto pratico invece è che misuriamo la lunghezza di un arco di curva con pitagora usando per esempio $Deltas=sqrt(Deltax^2+Deltay^2+Deltay^2$
Ma visto che è una pessima approssimazione (a meno che la curva non sia una retta lungo quella direzione) usiamo il calcolo
$ds=sqrt(dx^2+dy^2+dz^2)$
e grazie alla linearità dell'intorno di un punto (sempre sia benedetta altrimenti sarebbe l'intera idea di calcolo ad andare a farsi benedire) abbiamo stime di archetti infinitesimali...che possiamo sommare.

E se parametrizziamo?
Beh allora diventa $ds=dt/dtsqrt(dx^2+dy^2+dz^2)=sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)dt=sqrt((x^'(t))^2+(y^'(t))^2+(z^'(t))^2)dt=||r^'(t)||dt$

Ora se si sceglie una parametrizzazione tale che per alcuni t possiamo avere $r^'(t)=<0,0,0>$, ovvero $||r^'(t)||=0$ sarebbe perlomeno imbarazzante. Esempio otraggiosamente banale è la curva $y=x$ che possiamo parametrizzare sia con $(t,t)$ che con $(t^3,t^3)$ (senza ambiguità). La prima parametrizzazione ha derivata $(1,1)$ mentre la seconda $(3t^2,3t^2)$ e quindi può diventare $(0,0)$ per $t=0$.
Da qua la necessità di introdurre la definizione di "arco di curva regolare".

P.S. I matematici non farebbero passaggi del genere manco sotto tortura. I fisici e non solo invece li fanno in continuazione e concludono con una presa in giro ai matematici. Non è uno scherzo, ho visto sia Feynman che Susskind farlo...giusto per citarne due.
P.S.2 Riprendendo ciò che ha scritto Anto e usando i due esempi di parametrizzazione di cui sopra, in una parametrizzazione l'omino procede a velocità costante e nell'altra a velocità variabile che diventa zero per t=0.

Ciao ragazzi! Anzitutto grazie per la nutrita partecipazione.
Si all'inizio pensavo che in quanto cinematicamente $r'(t)$ rappresenta il vettore velocità istantanea, venisse dichiarato che $r'(t)$ dovesse necessariamente essere $!=0$ semplicemente perchè essendo vettore individua per definizione una direzione e questo è valido solo se le sue componenti non sono tutte nulle.
Poi andando a studiare come ricavare la lunghezza di un arco di curva regolare non comprendevo il motivo per cui sarebbe stato un problema che $||r^'(t)||=0$ , anzi avrebbe semplificato il calcolo portando a definire la lunghezza nulla.
Mi stai dicendo che prendendo una curva non regolare e provando a calcolarne la lunghezza per parametrizzazioni equivalenti in un intervallo $(a,b)->R^m$ potrei avere risultati diversi?
Però non ne sono affatto sicuro l'esempio $y=x$ è una curva regolare per $t\in(1,2)$ mentre non lo è per $t\in(-1,2)$? quindi nel secondo caso non avrebbe senso calcolarne la lunghezza?
Ho risposto a Bokonon perchè mi è stato più facile farlo, però la domanda è estesa a tutti, magari mi avete detto la stessa cosa ma non ho colto!