Ciao, sto cercando di fare il seguente esercizio preso da una prova d'esame:
Ho la seguente funzione $f(x) = (1/x)cos^-1(1/x)$ e devo studiarne la monotonia trovando massimi e minimi.
Io mi sono calcolato il dominio che è domf(x) = (-infinito,-1)U(1,+infinito).
Successivamente ne calcolo la derivata che mi viene:
$f'(x)=(-1/x^2)cos^-1(1/x)+(1/x^3)(1/(sqrt(1-1/x^2))).$
Per studiarne la monotonia devo studarne il segno ma mi sembra una funzione molto complessa.Ho pensato di provare a studiarne la monotonia con i limiti agli estremi del dominio ma non ottengo molte informazioni,qualche consiglio?
Provando a risolvere la disequazione $f'(x)>0$ arriverei ad avere:
$cos^-1(1/x)>1/(xsqrt(1-1/x^2))$
Ho pensato che siccome l'arcoseno è sempre positivo devo avere il termine a destra minore di zero per far si che la disequazione sia vera per ogni x. Impongo quindi:
$1/(xsqrt(1-1/x^2))<0$ e ottengo -1<x<1. Può andare?