Ciao, in un libro ho trovato il seguente risultato che non riesco a spiegarmi.
Si consideri una lastra con spessore $a$ centrata nell'origine di modo da avere uno spessore di $a/2$ a sinistra e a destra dello zero. Consideriamo di avere una sorgente piana (per esempio di calore) nel piano di simmetria passante per l'origine (una sorta di configurazione a sandwich). Considerando solo la dimensione $x$ (quella dello spessore) e immaginiamo di risolvere un problema di diffusione con reazione per una grandezza $f$. In particolare viene scritta l'equazione :
$$\Delta f +kf= S\delta(\mathbf x - \mathbf x_0)$$
dove $S$ è la costante che dà l'intensità della sorgente. In una dimensione
$$\frac {\partial^2 f}{\partial x^2} +kf= S\delta(x-x_0)$$
Ecco ora nel libro che stavo leggendo dice che la funzione $f$ sarà del tipo somma di coseni (credo dovrebbe essere una serie di Fourier, ma date le condizioni al contorno e per ragioni di simmetria si semplificavano tutti i termini contenenti il seno). A questo punto per trovare i coefficienti dice che
$$S\delta(x-x_0) = \frac {2S}{a} \left( \sum_{n \text{odd}} \cos(\frac {n\pi x} a)\cos(\frac {n\pi x_0} a) + \sum_{n \text{even}} \sin(\frac {n\pi x} a)\sin(\frac {n\pi x_0} a) \right)$$
Qualcuno mi saprebbe dire come ricavare quest'ultima formula, perché mi potrebbe essere utile per risolvere un paio di altri problemi.
Grazie mille
Ric
PS: di primo acchito penso sia collegata alla trasformata di Fourier della delta di dirac, però mi sono un po' impastato con i conti e non mi viene bene... Magari riprovo domani che adesso è un po' tardi