Considerato il seguente sistema lineare su $R$:
$ { ( -x_1 + x_2 -2x_3 + x_4 + x_5 = 2 ),( -x_1 + 2x_2 -x_3 - 2x_4 + x_5 = 1 ),( 2x_1 + x_2 + 1x_3 - x_4 + 2x_5 = -1 ):} $
(i) con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan, calcolarne l’insieme delle soluzioni;
(ii) e vero che l’insieme delle soluzioni e un sottospazio vettoriale di $R^5$?
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Vorrei avere un confronto con voi per alcuni dubbi. Prima di tutto associo alla matrice ed applico Gauss-Jordan e trovo:
$(( -1, 1, -2, 1, 1, 2),( 0, 3, -3, -1, 2, 3), ( 0, 0, 0, 2, 2, 0)) $
Secondo voi è ridotto nel migliore dei modi in scala? gauss Jordan non dovrebbe restituire una matrice avente per diagonali i coefficienti 1?
Poi qui devo scrivere il sistema con le soluzioni e lasciarlo così com'è?
$ { ( x = z + q + 3 ),( y = z - q +1 ),( z = z ),( t = -q ),( q = q ):} $
(ii) Come faccio a verificare se il risultato è sottospazio vettoriale di $R^5$? Devo vedere se appartiene ancora ad $R^5$ controllando che non ci sia una sesta incognita e che non ci siano grado maggiori dell'equazioni di partenza?