" Si consideri l’applicazione lineare $T : R^4 → R^3$ tale che $T((x, y, z, t)) = (2x + y + t, 2x + z + t, z −y − t)$.
(i) Determinare una base di Ker T e una base di Im T e dire se T `e iniettiva e suriettiva.
(ii) Determinare la matrice associata all’applicazione lineare T nei riferimenti $ B = (( 1, 0, 0, 0), ( 0, 1, 0, 0), ( 0, 0, 1, 0), ( 0, 0, 0, 1)) $ di $R^4$ e $ B' = (( 1, 0, 1),( 0, 1, 1), ( 0, 0, 1)) $ di $R^3$ "
(i)Ho dei dubbi a riguardo di quest'esercizio.
Riscrivo la matrice associata e la riduco con Gauss:
$ ( ( 2 , 1 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $
Dapprima ho pensato che il rango di questa matrice fosse 2 poi con una calcolatrice online mi è uscito che è 3. il -1 dell'ultima riga devo considerarlo come pivot?
Avendo rango massimo la matrice ha nucleo uguale a 0 secondo il teorema delle dimensioni, quindi l'applicazione è biettiva. Però alla prima riga della traccia avevo subito pensato che l'applicazione non fosse iniettiva perché da $R^4 -> R^3$ quindi non un elemento di $R^4$ pensavo rimanesse "scoperto" essendo $R^4 > R^3$, no?
(ii) Normalmente da $R^n -> R^n$ saprei anche farlo l'esercizio ma quando si tratta di basi diverse non so come mettere mano