Si consideri il sottospazio vettoriale W = ((1, 0, 1, −2),(1, 2, 0, −2),(−1, 2, −2, 2)) dello spazio vettoriale
numerico $R^4$.Determinare:
(i) una base di W;
(ii) una base di $R^4$ che contenga una base di W;
(iii) un sottospazio vettoriale di $R^4$ che abbia dimensione 2 e intersezione nulla con W.
Vorrei un confronto con voi ragazzi:
(i) Scrivo la matrice associata dei tre vettori e riduco con Gauss:
$(( 1, 1, -1), ( 0, 2, 2), ( 0, 0, 0), ( 0, 0, 0))$
la base di $B(W) = { a_1v_1, a_2v_2}$ ovvero i primi due vettori in colonna sono base di W
(ii) utilizzo la base calcolata precedentemente e l'associo alle basi canoniche di $R^4$ quindi:
$(( 1, 0, 1, -2), ( 1, 2, 0, -2), ( 0, 0, 0, 1), ( 0, 1, 0, 0))$
Verifico tramite il determinante che siano linearmente indipendenti e lo sono.
(iii) Riscrivo semplicemente le basi canoniche:
$(( 0, 0, 0, 1), ( 0, 1, 0, 0))$