Esercizio geometria lineare

[giulio0]

Fissato un riferimento cartesiano dello spazio della geometria elementare, si considerino le rette

s:= $ { ( x − y + z = 1 ),( x + y + z = −1 ):} $ e $r := (0, 0, 1) + (1, 1, 0)t$.

(a) Le rette s ed r sono sghembe? ◦ Si ◦ No Perché?
(b) Determinare la comune perpendicolare a s ed r.
(c) Determinare un piano parallelo sia a r sia a s.

Vorrei avere un confronto con voi:

a) scrivo la matrice associata delle due rette e calcolo il rango se questo è massimo allora non sono sghembe altrimenti lo sono. Per prima cosa riscrivo la retta s in forma parametrica:

$ { ( x = t - z ),( y=t ),( z = -x-t ):} $

quindi come parametri ho il vettore ( 1, 1, -1). Ora scrivo la matrice associata e calcolo il rango:

$(( 1, 1, -1), (1, 1, 0))$

il rango è 1 quindi le rette sono sghembe.

b) controllo che le rette sono parallele e lo sono, essendo parallele allora esiste una retta perpendicolare ad entrambe. Trovo il vettore $( 1, -1, 0)$ il cui prodotto scalare con entrambi i vettori dà 0.

c) Qui avevo pensato di trovare una retta parallela ad entrambe che appartiene ad un piano, ma una volta trovata la retta come trovo l'equazione del piano?

[Bokonon]

La parametrizzazione non è solo sbagliata ma non ha proprio senso. Tralaltro perchè prima non semplifichi la retta s?
Grida per essere semplificata in $ s:{ ( x+z=0 ),( y=-1 ):} $
Mentre $ r:{ ( x-y=0 ),( z=1 ):} $
La soluzione del sistema è immediata: le due rette si incontrano in $P=(-1,-1,1)$

Parametrizzando $ s:{( ( x ),( y ),( z ) ) =s( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) )+( ( 0 ),( -1 ),( 0 ) ) $ abbiamo che una direzione perpendicolare ad entrambe le rette è data dal prodotto vettoriale delle direzioni delle due rette, per esempio la direzione $(1,-1,1)$
Da cui abbiamo che:
a) la retta $ k:{( ( x ),( y ),( z ) ) =s( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+( ( -1 ),( -1 ),( 1 ) ) $ perpendicolare e comune ad entrambe r e s.
b) il piano passante per P e contenente entrambe le rette è $pi:x-y+z=1$ e i piani paralleli sono il fascio $x-y+z=d$ con $d!=1$

[giulio0]

Non ho capito quasi nulla di ciò che hai fatto potresti essere più chiaro? come hai semplificato le due rette e come ti trovi P?