Determinare sistema lineare avente S come insieme di soluzioni

[Anzu]

Salve, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio:

Sia \(\displaystyle S = {(1,2,0,3) + z | z ∈ 〈(1,-1,2,1), (1,5,-2,5)〉} \)

Si stabilisca se S è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle R^4 \) e si determini, se possibile, un sistema lineare omogeneo avente S come insieme di soluzioni.

Grazie.

[gugo82]

Idee tue?

[Anzu]

Idee tue?

Allora il teorema di struttura dei sistemi lineare (o almeno così lo chiama il mio libro) mi dice che:

Se Ax = b è un sistema di m equazioni in n incognite che ammette almeno una soluzione, allora l'insieme delle soluzione del sistema è : \(\displaystyle S = \lbrace v + z | z ∈ kerA \rbrace \)

Quindi vogliamo trovare l'insieme degli elementi \(\displaystyle (x,y,z,t) ∈ S \) tali che:
\(\displaystyle (x,y,z,t) = (1,2,0,3) + z \) con \(\displaystyle z ∈⟨(1,−1,2,1),(1,5,−2,5)⟩ \)

ma da qui come proseguo ? come faccio a capire se S è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle R^4 \) ?

[Bokonon]

Lascia stare il sistema, non c'entra nulla.
Ti ha dato uno spazio ben definito ovvero l'insieme di tutte le combinazioni di una base formata da due vettori a cui ci si somma un terzo vettore fisso.
Quindi è l'insieme di tutti i vettori $(x,y,z,w)$ di $R^4$ tali che:
$ S:{( ( x ),( y ),( z ),( w ) )= alpha( ( 1 ),( -1 ),( 2 ),( 1 ) )+beta( ( 1 ),( 5 ),( -2 ),( 5 ) )+( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 3 ) ) $
Che cos'è?
E qual è la definizione di spazio vettoriale?

[Anzu]

Quindi è l'insieme di tutti i vettori $(x,y,z,w)$ di $R^4$ tali che:
$ S:{( ( x ),( y ),( z ),( w ) )= alpha( ( 1 ),( -1 ),( 2 ),( 1 ) )+beta( ( 1 ),( 5 ),( -2 ),( 5 ) )+( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 3 ) ) $
Che cos'è?

Il sistema lineare avente S come soluzione ?

E per vedere se S è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle R^4 \) devo verificare le proprietà dei sottospazi, cioè contiene il vettore nullo, è chiuso rispetto alla somma ed chiuso rispetto al prodotto per scalari ?

[Bokonon]

E' un piano in $R^4$

E per vedere se S è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle R^4 \) devo verificare le proprietà dei sottospazi, cioè contiene il vettore nullo, è chiuso rispetto alla somma ed chiuso rispetto al prodotto per scalari ?

Esatto. E abbiamo una base + una traslazione.
Se passa per l'origine allora va da se che contiene lo zero e S è l'insieme delle combinazioni della base data, quindi è uno spazio vettoriale per definizione.
Quindi cosa vorrai controllare?