Densità congiunta uniforme

Messaggioda WhiteSte » 06/06/2019, 13:52

Siano $X$ e $Y$ due VAAC, e sia $f_(X,Y )(x, y)$ la densità del vettore aleatorio $(X, Y )$. In particolare si assuma che la densità $f_(X,Y )$ sia uniforme sull’insieme $D := {(x, y) ∈ R^2: x ∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1] , x −1/2≤ y ≤ x ∪ y ≥ x +1/2}$
(i) si calcoli la densità $f_(X,Y )(x, y)$, $(x, y) ∈ R^2$ e sia dia una rappresentazione grafica di $D$;
(ii) si calcolino le densità marginali di $X$ e $Y$ ;
(iii) $X$ e $Y$ sono indipendenti?
(iv) si calcoli $mathbb(P)(X ≥ Y )$.

Rieccoci con un altro esercizietto, molto standard, eccetto il punto 1 che non riesco a capire, in particolare con capisco cosa si intende che la densità $f_(XY)$ sia uniforme su D. Vuol dire che $f$ è costante?

Inanzitutto io ho dato una rappresentazione grafica di D che è la seguente nello spoiler, corrispondente all'area verde.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


ho Riscritto D tenendo una var libera e una dipendente
$D=A1+A2$
$A1={(x,y)R^2|0<=x<=1/2,x+1/2<=y<=1};$
$A2={(x,y)R^2|0<=x<=1/2,0<=y<=x,1/2<=x<=1,x-1/2<=y<=z}$

adesso se il testo mi dice che la densità congiunta sia uniforme, vuol dire che la congiunta è C? quindi sommo gli integrali sul dominio ponendo $intint_(A_1+A_2) f_(XY)(x,y) dxdy =1$ con $f(X,Y) =c$

un altro dubbio che però riguarda forse analisi 2, quando mi ricavo un dominio di questa forma, una variabile libera e l'altra indipendente quale dovrebbe essere l'ordine di integrazione?
WhiteSte
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 33 di 39
Iscritto il: 09/04/2019, 12:01

Re: Densità congiunta uniforme

Messaggioda tommik » 06/06/2019, 15:33

Immagine

il dominio $mathcal(D)$ è l'area colorata

L'area è ovviamente $1/2$, non servono conti è proprio l'area di mezzo quadrato (i due triangolini in alto a sinistra ed in basso a destra sono uguali).

La densità uniforme è il reciproco dell'area, non servono integrali complicati:

$f_(XY)(x,y)={{: ( 2 , ;" se "(x,y) in mathcal(D) ),( 0 , ;" Altrove" ) :}$



Le variabili sono indipendenti? No, per essere indipendenti condizione necessaria è che il dominio sia un rettangolo

Quali sono le marginali? integri la congiunta rispetto all'altra variabile e vedi che le due marginali sono entrambe uniformi su zero uno

$f_X(x)=mathbb{1}_([0;1])(x)$

$f_Y(y)=mathbb{1}_([0;1])(y)$

Qual è la probabiltà che $X>Y$?

La zona $X>Y$ è l'area sotto la bisettrice quindi tale probabilità è $"Area "xx" densità"=3/8*2=3/4$


Ora prova a fare i conti che non ho postato (per il calcolo delle marginali) se hai problemi posta...
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
Avatar utente
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5634 di 5822
Iscritto il: 23/04/2015, 14:13
Località: in provincia di Varese

Re: Densità congiunta uniforme

Messaggioda WhiteSte » 07/06/2019, 12:58

Si, continuo ad avere qualche problema con le marginali. Per come ho scritto il dominio, per trovare $f_X$ faccio
$int_(x+1/2)^1 2dy + int_(x-1/2)^x 2 dy + int_0^x 2 dy = 2 *1_([0;1])(x)$
WhiteSte
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 34 di 39
Iscritto il: 09/04/2019, 12:01

Re: Densità congiunta uniforme

Messaggioda tommik » 07/06/2019, 13:12

Gli integrali sono giusti ma non li puoi sommare così... non hanno tutti lo stesso dominio al variare di x...puoi sommare fra loro solo quelli definiti sullo stesso supporto di X

Quindi la $f(x)$ viene così:


$f_X(x)=[int_(0)^(x) 2dy+int_(x+1/2)^(1)2dy]mathbb{1}_([0;0.5))(x)+[int_(x-1/2)^(x) 2dy]mathbb{1}_([0.5;1])(x)=mathbb{1}_([0;0.5))(x)+mathbb{1}_([0.5;1])(x)=mathbb{1}_([0;1])(x)$

stessa cosa per l'altra.
Gurdulù ha ingurgitato una pinta d'acqua salata prima di capire che non è il mare che deve stare dentro a lui ma è lui che deve stare nel mare
Avatar utente
tommik
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 5637 di 5822
Iscritto il: 23/04/2015, 14:13
Località: in provincia di Varese

Re: Densità congiunta uniforme

Messaggioda WhiteSte » 07/06/2019, 13:42

perfetto tutto chiaro grazie come al solito
WhiteSte
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 35 di 39
Iscritto il: 09/04/2019, 12:01


Torna a Statistica e probabilità

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 6 ospiti