Se permetti provo a dartene una visione geometrica.
Il Kernel è lo spazio vettoriale perpendicolare allo spazio generato dalle righe: è la soluzione del sistema omogeneo.
Infatti se fai il prodotto scalare di ogni riga per il kernel che hai trovato si ottiene il vettore nullo (0,0,0).
Prendiamo il caso specifico. Visto che lo spazio di partenza è $R^4$ puoi scegliere una base diversa da quella canonica composta dalle righe di A e il kernel. Le righe di A creano un sottospazio vettoriale di dimensione 3 e il kernel di dimensione 1 (una retta) e questi due sottospazi sono perpendicolari fra di loro, quindi possono essere messi in somma diretta 3+1=4.
L'applicazione in se invece manda i vettori di $R^4$ in $R^3$. Puoi visualizzarla meglio usando la base di $R^4$ cui sopra.
In pratica tutti i vettori appartenenti allo spazio generato delle righe P (un iperpiano di dimensione 3) vengono uno ad uno inviati in $R^3$.
In altre parole, se si considerano solo i vettori appartenenti a P, l'applicazione è iniettiva e riduce la dimensione dei vettori perchè possono effettivamente essere mappati in uno spazio isomorfo di dimensione 3. Per esempio $Ap=p^'$ con $vec(p) in P$
Però in $R^4$ ci sono anche tutti i vettori che non stanno su P, ovvero tutte le combinazioni lineari di ogni singolo vettore p traslato lungo la retta del kernel $alpha*vec(k)$. Quindi $A[p+alphak]=Ap+alphaAk=p^'$ Perchè $Ak=0$.
Tradotto l'applicazione prende i vettori di $R^4$ che non appartengono a P li proietta ortogonalmente (rispetto alla base che abbiamo scelto) sulla medesima immagine e lungo la direzione del kernel...rendendo sostanzialmente inutile una componente.
L'immagine invece è lo span delle colonne della nostra A e visto che tre di esse sono l.i., allora formano una buona base...ma di tutto $R^3$ (quindi non è una retta).
The big picture generale per vedere gli effetti di una qualsiasi applicazione è questa
Nel nostro caso specifico lo spazio delle righe ha dimensione 3. Il nullspace/kernel ha dimensione 1.
Lo spazio delle colonne/immagine ha dimensione 3. E infine lo spazio nullo sinistro o kernel della trasposta ha dimensione zero perchè è composto dal solo vettore nullo.