***Interessante*** Massimo di variabili aleatorie

Messaggioda LukeV98 » 09/06/2019, 16:30

Mi trovo a dover calcolare la distribuzione M=max(X,Y), dove il vettore $[X Y]$si distribuisce uniformemente sul dominio $|x|+|y|<1$. Se le due variabili aleatorie fossero indipendenti saprei cosa fare, ma in questo caso non lo sono e quindi non capisco come procedere.

Grazie
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Re: Massimo di variabili aleatorie

Messaggioda tommik » 09/06/2019, 17:24

carino! mai visto prima. disegna il dominio (un rombo) e vedi $AAz in Z$ quanto vale $mathbb{P}[X<=z,Y<=z]$

tieni presente che tale probabilità è data da $"Area "xx" Densità "$

se non riesci inizia a farlo con variabili uniformi ed indipendenti con il metodo che ti ho descritto...tanto lì la soluzione la conosci....
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Re: Massimo di variabili aleatorie

Messaggioda LukeV98 » 09/06/2019, 17:34

Allora... la densità sarà 1/2 nel rombo e zero all'esterno, e quindi nel caso di indipendenza il massimo sarà $P(max{X, Y}<x)=P(X<x)*P(Y<x)=(F(x))^2=x^2/4, se -1<x<1$.
Come procedo invece in caso di dipendenza?
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Re: Massimo di variabili aleatorie

Messaggioda tommik » 09/06/2019, 17:42

Non hai capito. Le variabili definite sul rombo non possono essere indipendenti. Valuta quanto vale l'area $(X<z,Y<z)$ al variare di $z in Z$ .... non mi sembra difficile.

Il mio suggerimento di partire con variabili indipendenti uniformi, ad esempio su $(0;1)$, era per verificare che la CDF ti viene proprio $z^2$...non di applicare la formula del libro...
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Re: Massimo di variabili aleatorie

Messaggioda LukeV98 » 09/06/2019, 17:57

Nel caso fossero indipendenti e uniformi in $(0,1)$ avrei un quadrato e dovendo essere $X<z$ e $Y<z$ al variare di $z$ la CDF risulta $z^2$, è corretto?
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Re: Massimo di variabili aleatorie

Messaggioda LukeV98 » 09/06/2019, 18:52

In pratica dovrei fare l'integrale doppio con $x$ e $y$ che variano, entrambe, da -infinito a $z$, tenendo presente che la funzione densità vale $1/2$ solo all'interno del rombo e zero altrimenti.
E' corretto?
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Re: Massimo di variabili aleatorie

Messaggioda tommik » 09/06/2019, 20:50

Nessun integrale. E' macchinoso stare ad integrare con quel dominio e del tutto inutile. Dato che la distribuzione è uniforme la probabilità, come ti ho già detto prima1, è data semplicemente dall'area di interesse moltiplicata per la densità, costante e pari ad $1/2$

Con semplici considerazioni geometriche trovi quindi che

$F_M(m)={{: ( 0 , ;m<-1/2 ),( (1+2m)^2/4, ;-1/2<=m<0 ),( 1/4+m , ;0<=m<1/2),( 1-(1-m)^2 , ;1/2<=m<1 ),( 1 , ;m>=1 ) :}$

Ecco il grafico (anche se si vede male, non c'è un flesso; la parte da 0 a 0.5 è una retta)

Immagine

:smt039

Note

  1. è evidente che non leggi ciò che scrivo ma continui ad andare per la tua strada; considerato poi che qui ti ho risposto in maniera dettagliata e non hai nemmeno fatto un cenno...che so, grazie per la risposta ecc ecc, penso sinceramente che sia tempo perso stare a dettagliare tutto il ragionamento e quindi ti devi accontentare del risultato a cui sicuramente perverrai anche da solo, leggendo bene le mie istruzioni
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Re: ***Interessante*** Massimo di variabili aleatorie

Messaggioda LukeV98 » 10/06/2019, 18:15

OK grazie mille, ho capito il ragionamento da fare in questi casi!
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