Circonferenza nello spazio (SISSA)

[onlynose]

Ciao a tutti!Vi propongo un esercizio apparentemente semplicissimo, ma che non sono riuscito a risolvere in modo "ingegnoso". Ed essendo un esercizio per l'ammissione alla SISSA (anno 2011) un modo relativamente "breve" deve esserci.

Trovare l’equazione della circonferenza in $\mathbb{R}^3$ che passa per i punti $(0, 4, −1), (5, 0, 0), (−4, 4, 3)$.

Io ho provato con metodi classici: cercando la sfera che ha centro nel piano individuato dai tre punti ed intersecandola con il piano stesso. Ma i numeri che ho dovuto calcolare sono abbastanza assurdi, ragion per cui non credo sia il modo giusto di procedere. Se qualcuno ha idee a riguardo mi faccia sapere!

[Bokonon]

I tre punti stanno sul piano $2x+3y+2z=10$
Il centro è $C=(19/34,10/17,121/34)$ e il raggio è $r=sqrt(1113/34)$.
Intersecando la sfera $17x^2+17y^2+17z^2-19x-20y-121z=330$ e il piano, una delle possibili soluzioni è $13x^2+13z^2+8zx-43x-97z=110$

[onlynose]

Ciao @Bokonon. Anch'io ho trovato, se non sbaglio, le stesse equazioni. Però mi sembrava un po' lungo il procedimento per i calcoli che si devono affrontare. Secondo te non c'è un mezzo per accorciare i conti? O un altro procedimento per risolvere il problema?

Inoltre non capisco l'ultimo passaggio che hai fatto: perché hai ridotto ad un'unica equazione? (Non dovrebbe descrivere una circonferenza)

[Bokonon]

Inoltre non capisco l'ultimo passaggio che hai fatto: perché hai ridotto ad un'unica equazione? (Non dovrebbe descrivere una circonferenza)

Ciao
E' una circonferenza rispetto ad un riferimento ortornormale che si può trovare facilmente, però appare come un ellisse inclinata rispetto alla base canonica. Non era affatto un passaggio necessario, ne richiesto immagino: alla fine, credo proprio che chiedessero solo di trovare il raggio e scrivere l'equazione della circonferenza.
Non vedo metodi "ingegnosi" per trovare il raggio: i calcoli sono piuttosto diretti.

[dissonance]

Penso anche io che la cosa migliore sia fare i conti con decisione. Comunque, ho due osservazioni;

1) un modo alternativo è calcolare rapidamente il circumcentro del triangolo assegnato, e questo si può fare usando coordinate baricentriche: https://math.stackexchange.com/q/999532/8157. Oppure, usare la caratterizzazione del circumcentro come punto di incontro delle perpendicolari ai punti medi di due lati (non saprei farlo in modo molto rapido, però).

2) @Bokonon: d'accordo, ma la soluzione ce la devi dare sotto forma di due equazioni. Se ne dai solo una, stai descrivendo una sfera o un ellissoide, non una circonferenza. Non si capisce quindi perché tu faccia questo passaggio:

Intersecando la sfera $17x^2+17y^2+17z^2-19x-20y-121z=330$ e il piano, una delle possibili soluzioni è $13x^2+13z^2+8zx-43x-97z=110$

Il sistema
\[
\begin{cases} 17x^2+17y^2+17z^2-19x-20y-121z=330, \\
2x+3y+2z=10
\end{cases}\]
(ammesso che sia corretto, non ho controllato i conti) è già una soluzione del problema. Non occorre manipolarlo ulteriormente. Ma forse non ho capito cosa volevi dire...?

[j18eos]

Vado a memoria:

1) calcolai il piano \(\displaystyle ax+by+cz+d=0\) passante per quei punti (come già detto da tutti gli altri utenti);
2) calcolai due dei tre "piani assiali" dei dati punti¹;
3) calcolai il punto d'intersezione dei precedenti due piani col piano calcolato al punto (1), ovvero trovai il centro \(\displaystyle(x_0,y_0,z_0)\) di tale circonferenza;
4) calcolai la distanza \(\displaystyle r\) tra il centro e uno dei dati punti;
5) senza esplicitare tutti i calcoli, scrissi che la circonferenza cercata è data dal sistema
\[
\begin{cases}
ax+by+cz+d=0\\
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2
\end{cases}.\Box\,\text{(Q.E.D.)}
\]
P.S.: La commissione valutò a punteggio pieno questo esercizio.

---

Note

1. Ovvero, calcolai il luogo geometrico dei punti di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\) equidistanti delle coppie formate dai punti dati. ↑

[dissonance]

@Armando: se avevi calcolato esplicitamente \(a, b, c\) e \((x_0, y_0, z_0)\) e \(r\), allora per forza ti hanno dato il punteggio pieno. Tu dici: "senza esplicitare tutti i calcoli"; ma cos'altro vuoi calcolare?

[Bokonon]

Ho trovato il foglio in cui ho fatto i conti.
In pratica ho preso i tre punti $A=(0,4,-1)$ $B=(5,0,0)$ e $C=(-4,4,3)$ e li ho traslati sottrando A da tutti e tre ottenendo $A^'=(0,0,0)$ $B^'=(5,-4,1)$ e $C^'=(-4,0,4)$
E poi ho lavorato sul piano che passa per l'origine e che li contiene, ovvero il piano di direzioni $B^'$ e $C^'$ (anche se ho semplificato la direzione $C^'$ in $(1,0,-1)$ per i calcoli).
Insomma il piano contiene tutti i punti $ ( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( 5 ),( -4 ),( 1 ) )+s( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) )=( ( 5t+s ),( -4t ),( t-s ) )=P $
Perciò anche il centro soddisfa P. Ora basta impostare un sistema eguagliando ad esempio le distanze $(PA^')^2=||P||^2=(PC^')^2$ e $(PA^')^2=||P||^2=(PB^')^2$ e si ottiene il centro traslato $D^'=(19/34,10/17,121/34)$ (mentre il centro reale è $D=D^'+A$)
Da cui $(A^'D^')^2=||D^'||^2=1113/34=r^2$
E poi si scrive il sistema sfera/piano.

Quella che ho scritto è appunto una soluzione del sistema

[Bokonon]

2) @Bokonon: d'accordo, ma la soluzione ce la devi dare sotto forma di due equazioni.

Ho scritto entrambe le equazioni nel primo messaggio...e pure una soluzione del sistema.

[j18eos]

@Giuseppe Non ho esplicitato quei quadrati di binomio! Questo me lo ricordo, dicendomi:"Se mi rimane del tempo, li svolgo dopo." Ed ovviamente il tempo a disposizione non lo ebbi.