da onlynose » 09/06/2019, 21:55
Il punto (a) si può fare usando la regola dei segni di Cartesio.
Inoltre si ha che, posto $x\ne1$,
$$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+1=\frac{1-x^n}{1-x},$$
e con facili conti si arriva alla seguente equazione equivalente a quella data: $x^n(2-x)=1$, da cui ci può già dire che la
radice positiva appartiene a $(1,2)$. (Osservando prima che essa deve essere maggiore di $1$, poiché nella nuova equazione dobbiamo supporre $x>1$).
Poi si può osservare, con pochi conti, che la funzione $f_n(x)=x^n(2-x)-1$ è definitivamente crescente da $\rho_n$ in poi per ogni $n$, questo ci serve per poter dire che la successione $\{\rho_n\}$ è monotona decrescente. Infatti $f_{n+1}(\rho_n)=\rho_n\rho_n^n(2-\rho_n)-1=\rho_n-1>0$ e quindi $\rho_{n+1}<\rho_{n}$. Da ciò possiamo dedurre che la successione $\{\rho_n\}$ ammette limite $L$, essendo limitata e monotona.
Per $n\rightarrow+\infty$ avrò che $|L^n(2-L)-1|<\varepsilon$, da cui posso facilmente dedurre che L=1.